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Bonsoir à tous,
Voilà je poste ce message car je n'ai pas bien compris la notion de polynôme irréductible :
Dans un cours sur internet, j'ai trouvé à propos des polynomes irréductibles dans R :

Si P est un polynome de degré 2 avec $ \delta>0 $, il admet deux racines réelles ( distinctes
ou confondues ) et s'écrit P = a ($ X-\alpha_1 $) ($ X-\alpha_2 $). Il n'est pas irréductible.

. Je ne comprends pas : un polynome est irréductible s'il peut s'écrire sous la forme Q*R avec un des 2 polynomes constants, ici a est un polynome constant non ?
Par ailleurs, pourquoi si les polynomes irréductibles de R sont ceux du 1er degré et du 2nd degré à discriminant négatif, ceux de C sont uniquement ceux du 1er degré. Car un polynome à coefficient dans R est également à coefficient dans C. Dans ce cas, pourquoi les polynomes du 2nd degré à discriminant négatif ne sont pas irréductibles dans C et le sont dans R ?
Si quelqu'un pourrait m'éclairer ça serait simpa
Merci d'avance !

Bonsoir,

Un polynôme irreductible si on fait une analogie avec les nombres, c'est comme les nombres premiers. Tu prends un grand polynômes et on cherche à le factoriser au maximum dans le corps d'étude (R ou C).

Exemple qui va te faire comprendre :

$ P=3X^2+3=3(X^2+1) $, son discriminant est négatif, on ne peut pas aller plus loin dans R, car sinon il s'écrit : $ 3(X-i)(X+i) $, et donner des imaginaires dans R c'est comme ci tu programme du C++ avec un autre langage , c'est incompatible. Par contre, la décomposition sur C se fait toujours avec des pôlynomes de degrés 1, car toutes les racines de polynômes sont complexes.

En gros, lorsqu'on travaille dans R, on n'a pas le droit d'écrire $ i $, ce qui fait que pour ces poly dont Delta <0, on ne peut pas les factoriser plus.

Ok, ton message m'a éclairci, mais si on revient sur la définition originale d'un polynome irréductible, avec par exemple le polynome $ P=4(X^3+2X^2-X) $. C'est bien une constante fois un polynome, alors pourquoi n'est-il pas irréductible ? Car on est en plein, à moins que je l'ai mal compris, dans le cadre de la définition

Non il n'est pas irreductible car $ X^3+2X^2-X $ admet une racine réelle ! Je peux te le justifier : Quand x -> +oo, P-> +oo quand x-> -oo , P->-oo, donc en vertu du théorème des valeurs intermédiaires, P admet au moins une racine réelle (par continuité de P, il doit s'annuler à un moment pour aller de -oo à +oo..).
Donc ce qui fait sur R, ou sur C, tu ne l'as toujours pas décomposer... et en plus, une racine évidente c'est 0, tu factorise donc par X-0=X, et t'obtiens un polynôme de second degrès et là tu calcules delta.

PS : Le théorème du cours, dit bien que pour un polynômes de degrés >= 3, il n'a aucune chance d'être irréductible sur R et encore moins sur C.

Je suis d'accord, j'ai compris ton argument, mais ce qui me chiffonne, c'est cette définition, que j'ai vu dans mon cours : Soit P un polynome non constant de K[X]. P est appelé polynome irréductible si : P=Q*R implique deg Q=0 ou deg R=0 avec (Q,R) des polynomes de K[X]. Dans mon exemple, 4 est de degré 0 et on a bien P=Q*R avec Q=4 et $ R=X^3+2X^2-X $

J'avais oublié cette propriété, enfin, c'est comme si je viens de la découvrir, je viens de vérifier sur un cours sur le net. C'est vrai que cette définition n'est pas très jolie. Mais je pense, que si $ P=cQ $ c: constante, il se peut que $ Q=AB $ et ainsi de suite.. tu vois, il faut que Q ne soit pas décomposable en produit.
Ainsi P irréductible => P=QR Q constant et R non produit.

D'accord comme ça je comprends mieux, merci beaucoup !

Une remarque en passant, peut-être superflue mais ça pourrait t'aider :


si tu as du mal à comprendre la propriété comme elle est écrite, tu devrais peut-être relire ton cours de début d'année sur la logique. En effet, quand la propriété dit "...P=Q*R implique deg Q=0 ou deg R=0...", tu dois comprendre que si P=Q*R, alors nécessairement l'un des deux est un polynôme constant, mais que ce n'est pas suffisant (si P est irréductible bien sûr). Ce qui montre directement que ton contre-exemple n'en est pas un.

C'est vrai aussi, mais alors la définition est quand même mal formulée : quel est l'intéret de définir une notion en en donnant une conséquence ??

Je me permets de donner la définition d'irréductible à rafi vu que ça n'a pas encore été fait et que c'est probablement ça qui lui pose problème au final...

rafi64 a écrit :Je ne comprends pas : un polynome est irréductible s'il peut s'écrire sous la forme Q*R avec un des 2 polynomes constants, ici a est un polynome constant non ?

Non justement, c'est pour ça que tu fais les confusions que tu fais dans la suite .
C'est plutôt : un polynôme non nul et non constant est dit irréductible si, dès qu'il peut s'écrire QR, alors Q ou R est constant.

Moralement : ton polynôme ne peut pas se factoriser en polynômes plus simples (en dehors, évidemment, des factorisations triviales - qui n'en sont pas vraiment - par une constante).