Nombre premiers

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Dadin
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Re: Nombre premiers

Message par Dadin » mar. févr. 15, 2011 9:25 pm

J'ai peut-être pas été convainquant vu que c'étaient de petits nombres, mais par exemple le calcul de
PGCD(348009867102283695483970451047593424831012817350385456889559637548278410717,445647744903640741533241125787086176005442536297766153493419724532460296199) devient immédiat.

Valvino : lolwut !

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Asymetric
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Message par Asymetric » mar. févr. 15, 2011 9:31 pm

En effet, il est clairement évident que ces 2 nombres sont des nombres premiers.
Toute grandeur mesurable est valeur propre d'un endomorphisme.
Toute chose compréhensible est inintéressante.
Tout espace vérifie la propriété de Borel-Lebesgue si et seulement s'il vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass.

compol
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Re: Nombre premiers

Message par compol » mar. févr. 15, 2011 9:46 pm

Ah bon? J'aimerai bien avoir une démo si possible astucieuse ! (sans passer par l'ordi)

Valvino
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Re: Nombre premiers

Message par Valvino » mar. févr. 15, 2011 10:21 pm


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Asymetric
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Message par Asymetric » mar. févr. 15, 2011 10:44 pm

compol a écrit :Ah bon? J'aimerai bien avoir une démo si possible astucieuse ! (sans passer par l'ordi)


C'était une blague -.-

(Enfin une démo astucieuse serait d'utiliser Google pour avoir la liste des nombres premiers connus à ce jour, et de voir que les nombres en question de Dadin sont bien dans la liste, et en montrant que ces deux nombres sont biens distincts hein).
Toute grandeur mesurable est valeur propre d'un endomorphisme.
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fakbill
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Re: Nombre premiers

Message par fakbill » mar. févr. 15, 2011 10:53 pm

Pas prof.
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Dadin
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Re: Nombre premiers

Message par Dadin » mer. févr. 16, 2011 1:40 am

Par contre une vraie question d'algo et de complexité intéressante qui me travaille depuis tout à l'heure est : "peut-on faire mieux que l'algorithme d'Euclide" pour trouver le PGCD de deux nombres ?
Ce dernier travaille en temps linéaire en la taille de l'entrée (cas le pire avec les nombres de Fibonacci). Donc on ne risque pas de trouver mieux en puissance polynomiale (faut bien lire l'entrée, mais preuve rigoureuse ?), mais améliorer de façon conséquente la constante par un autre algo ?

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LB
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Re: Nombre premiers

Message par LB » mer. févr. 16, 2011 8:35 am

Apparemment y'a des trucs cools en base 2...
http://perso.ens-lyon.fr/damien.stehle/ ... slides.pdf

Pas forcément très compréhensible comme ça en le lisant vu que c'est un diaporama, mais ça doit donner quelques pistes et quelques références.
On peut dire que les fonctions convexes en dimension infinie et les fonctions continues en dimension finie sont d’une complexité similaire - Gilles Godefroy
http://perso.eleves.bretagne.ens-cachan.fr/~ldiet783/

nafpy
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Re: Nombre premiers

Message par nafpy » mer. févr. 16, 2011 12:13 pm

Dadin a écrit :... "peut-on faire mieux que l'algorithme d'Euclide" pour trouver le PGCD de deux nombres ?
...?

Dans l'absolu, La reponse est NON, on ne sait pas faire mieux depuis 2500 ans.
La seule source fiable restera "Donald Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms".
Et c'est là que j'avais decouvert (il y a +sieurs années), la seule amélioration d'Euclide "pratique", proposée par un certain J. Stein: Computational problems associated with Racah algebra. Journal of Computational Physics, Vol. 1, No. 3, pp. 397–405, 1967.
Pour en savoir un peu plus : http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_GCD_algorithm
Quand à:
LB a écrit :Apparemment y'a des trucs cools en base 2...
http://perso.ens-lyon.fr/damien.stehle/ ... slides.pdf

C'est une plaisanterie... :P ... Trop de verbiage pour pas grand chose. Un algorithme pour être efficace, doit être facilement implémentable en pratique. S'il requiert une machine spécialisée, il perdra son interêt, à moins de ne s'interesser uniquement à l'evaluation théorique de la complexité.
Pour en dire un peu plus, L'algo peut être modifié pour le calcul des inverses modulaires.
A noter cependant une variante interessante est dans "B.S.Kaliski Jr. The Montgomery inverse and its applications".
Bonne lecture à tous ceux que la théorie et la pratique des nombres interesse.
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fakbill
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Re: Nombre premiers

Message par fakbill » mer. févr. 16, 2011 5:14 pm

Ca date un peu comme référence. Volume 2, Seminumerical Algorithms (troisième édition 1997).
A l'époque le test de primalité n'était pas P.

Dans mathematica, ils font ça:
"GCD interleaves the HGCD algorithm, the Jebelean\[Dash]Sorenson\[Dash]Weber accelerated GCD algorithm, and a combination of Euclid's algorithm and an algorithm based on iterative removal of powers of 2."
Pas prof.
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nafpy
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Re: Nombre premiers

Message par nafpy » mer. févr. 16, 2011 6:11 pm

fakbill a écrit :Ca date un peu comme référence. Volume 2, Seminumerical Algorithms (troisième édition 1997).
A l'époque le test de primalité n'était pas P.

Dans mathematica, ils font ça:
"GCD interleaves the HGCD algorithm, the Jebelean\[Dash]Sorenson\[Dash]Weber accelerated GCD algorithm, and a combination of Euclid's algorithm and an algorithm based on iterative removal of powers of 2."

Bien sur que ça date, n'empeche que ça reste la meilleure réference pour les applications pratiques. De toute les façons toutes les améliorations sont déduites de J. Stein, et la complexité théorique reste quadratique en le longueur des opérandes.
Je ne connais pas la version de Jebelean, et je t'en dirai plus si j'arrive à me la procurer. De toute façon si tu as d'autres références, je suis preneur.
Le test de Primalité n'etait pas P, à l'epoque, mais dans la pratique, pour des raisons de performance on continue toujours avec les méthodes probabilistes qui fournissent un bon résultat tant que la conjecture de Riemman n'est pas infirmée. Mais sûr que le trio a fait avancer les choses dans ce domaine.
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Re: Nombre premiers

Message par fakbill » mer. févr. 16, 2011 7:18 pm

Oui oui c'est la diférence entre la pratique et la théorie en algo.
En pratique, un facteur 2 c'est souvent la différence entre "acceptable" et "trop lent"....en théorie, on crie victoire quand on gagne une classe de complexité ou quand on réduit un peu un exposant...la constante est cachée dans le O :D

Même la multiplication rapide...je ne m'en sert jamais car je n'ai jamais besoin d'une précision infinie sur des entiers....mais c'est cool de savoir que ca existe.
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Re: Nombre premiers

Message par Dadin » mer. févr. 16, 2011 7:21 pm

L'algorithme en binaire est quand même un brin décevant, il s'agit du même algorithme que celui d'Euclide avec des astuces de calculs processeur. Mais merci quand même pour les différents liens !

nafpy : une autre conjecture (et, je trouve, la plus belle en théorie de la complexité) est que tout ce qui se fait en temps polynomial probabiliste ($ \mathbf{BPP} $) peut se faire en temps polynomial déterministe ($ \mathbf{P} $). Le fait que la primalité soit en fait $ \mathbf{P} $ n'était donc pas si surprenant !

fabkill : la multiplication rapide est quand même indispensable si l'on travail sur des grands entiers (à partir d'une vingtaine-trentaine de chiffres Karatsuba est vraiment mieux, et au delà d'une grosse cinquantaine FFT rulz). Après c'est sur que pour manipuler des entiers de 10 chiffres la multiplication naïve reste la plus efficace.

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Re: Nombre premiers

Message par fakbill » mer. févr. 16, 2011 7:25 pm

. Le fait que la primalité soit en fait \mathbf{P} n'était donc pas si suprenant !

Surprenant non mais ce qui l'était c'était que je pouvais comprendre sans problème leur algo :) C'est une approche "simple" qui a payé.
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