Concours G2E 2011

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs: Philippe PATTE, JeanN, Michel Quercia

Concours G2E 2011

Messagepar iris17300 » Dim Fév 26, 2012 5:46 pm

Bonjour,

Voilà voilà comme annoncé dans le titre, j'ai à faire en DM les 3 problèmes du concours G2E 2011. Mais dès les premières questions, je suis dépassée :cry:
Voici ce que j'ai fait, mes pistes de réflexion et mes problèmes.

Pour le sujet : http://g2e.ensg.inpl-nancy.fr/fileadmin/telechargement/sessions/SESSION_2011/Sujets/MATHS_2011.pdf


1.1. Grâce au rapport de jury, j'ai bien pensé à justifier clairement la continuité de fn, sa dérivabilité et la continuité de sa dérivée première. J'en ai donc conclu que fn était C1 ∀n∈ℕ

1.2. J'ai commencé par dire que l'intégrale était égale à [P(t).e-λt] entre 0 et +∞ mais comme nous ne savons pas comment est défini le polynôme, impossible d'en déterminer les limites. Par IPP, je n'aboutit à rien non plus...
Du coup, je ne sais comment définir fn et fn+1 et trouver une relation entre les 2 intégrales...

1.3.
???

1.4. Même problème au niveau des calculs, mon IPP n'aboutit à rien ...


Si déjà quelqu'un pouvait m'éclairer sur ces 1ère questions le temps que je réfléchisse à la suite ... :mrgreen:
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Re: Concours G2E 2011

Messagepar compol » Dim Fév 26, 2012 6:03 pm

Pour la 1.1 déjà , attention, c'est faux pour n=0. (vrai si n\in \mathbb{N}^*)
Pour la 1.2 , vu que \lambda >0, que peux-tu dire quant à la croissance de t\mapsto e^{-\lambda t} par rapport à celle de t\mapsto P(t) ? Ensuite pour trouver la relation, l'idée d'une IPP est bien, puisqu'il faut passer de n+1 à n. Il faut regarder comment est définie la suit f_n par l'énoncé.
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Re: Concours G2E 2011

Messagepar iris17300 » Dim Fév 26, 2012 6:58 pm

1.1. faux en 0 pour fn ou f'n ? Parce que j'avais trouvé f0(t) = λ^2.e-λt et f'0(t) = 0 ???

1.2. J'aurais dit que par croissance comparée, "l'exponentielle l'emporte" donc en 0 et +∞ la primitive suit les variations de e-λt... En utilisant les limites j'obtiens alors que l'intégrale converge vers 1 c'est bien ça ?
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Re: Concours G2E 2011

Messagepar compol » Dim Fév 26, 2012 8:44 pm

t\mapsto f_0(t) n'est pas continue en 0, donc ne peut pas être dérivable en ce point.
1.2. J'aurais dit que par croissance comparée, "l'exponentielle l'emporte" donc en 0 et +∞ la primitive suit les variations de e-λt... En utilisant les limites j'obtiens alors que l'intégrale converge vers 1 c'est bien ça ?

en + \infty seulement. 1 ? Pour quelle intégrale?
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Re: Concours G2E 2011

Messagepar iris17300 » Lun Fév 27, 2012 11:21 am

Hum oui c'est vrai pour le 1.1. j'ai raisonné trop vite >_<

1.2. & pourquoi pas en 0 ? Parce que ne connaissant pas P(t), je ne vois pas comment en déterminer ses limites en 0 ou +∞ ...
Du coup, pour moi, si on s’intéresse aux limites de [P(t).e-λt] entre 0 et +∞ , c'est comme si on cherchait les limites de e-λt en 0 et +∞ , càd respectivement 1 et 0 ...
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Re: Concours G2E 2011

Messagepar Hikari » Lun Fév 27, 2012 3:48 pm

Pour la 1.1, f_1(t) a pour dérivée à droite en 0 λ² et à gauche 0 donc f_1(t) n'est pas C1 non plus
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Re: Concours G2E 2011

Messagepar iris17300 » Mar Mars 06, 2012 11:26 am

1.1. Pour f_1(t) j'ai trouvé λ².t.exp(-λt) donc quand t tend vers 0, on a bien 0 ...

1.2. & 1.3. Ces questions me posent toujours autant de problèmes, j'ai essayé plusieurs IPP en changeant mes facteurs u et v' mais rien n'y fait, au lieu de me simplifier le problème, j'en tire des expressions qui se compliquent de ligne en ligne ... :(

1.4. OK

1.5. OK pour l'espérance, mais mon IPP pour la variance n'aboutit à rien ...

Pour la suite, c'est le flou total, je m'emmêle les pinceaux dans les calculs ...
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Re: Concours G2E 2011

Messagepar Nuhlanaurtograff » Mar Mars 06, 2012 12:33 pm

1.1 : f_1 est continue, mais n'est pas C^1.

1.2 :
a/ Montrer que t^2f_n(t) -> 0 quand t tend vers l'infini.
b/ Prendre l'intégrale de f_{n+1}, faire une IPP en dérivant t^{n+1}

1.3 : utiliser la relation de récurrence obtenue précédemment.
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