applications linéaires VS matrices

[charlestiran]

Bonjour, je pose une question pratique qui présente surement peu d'intérêt pour pas mal de gens. Alors d'après le cours on sait que l'on peut indifféremment raisonner dans un exo avec le point de vue matrice ou le point de vue application linéaire canoniquement associée. Pour ma part, je préfère de LOIN le point de vue application, je vois tout de suite les trucs souvent. Du coup, quand un problème matriciel est posé, je le traduis immédiatement. Pire encore, à mon dernier compte rendu de colle (on rédige les colles avec un colleur chez moi) vu que l'énoncé était sous forme matricielle, je l'ai résolu en le traduisant vectoriellement, j'ai trouvé puis après j'ai recopié au propre en adaptant matriciellement. C'est en quelque sorte de la triche vous allez dire. Je pense que c'est peut-être parce que l'on voit l'algèbre linéaire avant les matrices donc j'ai moins de pratique. Dans quel cas faut-il privilégier la vision matricielle ? Dans quel cas faut-il bannir le point de vue application ? Perso, à part calculer un déterminant (donc avec une matrice carrée au lieu d'un endomorphisme) ou un rang plus facilement pour l'instant je vois pas trop l'intérêt des matrices conceptuellement.

Merci

[vincentroumezy]

A mon avis, utiliser l'un ou l'autre se fait sur un crière de difficulté.

[Tompouce67]

Il n'y a pas de cas où il faut privilégier une vision ou l'autre
On peut faire comme on veut du moment qu'on trouve le résultat
Si c'est plus pratique pour toi de raisonner avec les applications, ne te prive pas
On ne pourra pas te le reprocher

En plus, les applications sont définies intrinsèquement alors que les matrices dépendent d'une base
Je préfère aussi raisonner directement avec les applications, notamment pour trouver leurs différentielles

[FeynmaN]

Je préfère aussi raisonner directement avec les applications, notamment pour trouver leurs différentielles

Ce n'est pas non plus monstrueux de trouver la différentielle d'une application linéaire..

L’intérêt des matrices tu le verras en spé avec la diagonalisation.Bref, ça simplifie la vie les matrices. Après si tu poursuis tes études en mécanique, tu verras qu'une matrice (ou tenseur proprement dit) symétrique ou antisymétrique ou de trace nulle ont un sens physique.

[Tompouce67]

Je préfère aussi raisonner directement avec les applications, notamment pour trouver leurs différentielles

Ce n'est pas non plus monstrueux de trouver la différentielle d'une application linéaire..

Pas faux...
Mais ce que je voulais dire, c'est que l'application différentielle à selon moi un truc en plus par rapport à la matrice jacobienne alors que ça représente la même chose (question d'esthétique après)

[Hoetre]

Alors d'après le cours on sait que l'on peut indifféremment raisonner dans un exo avec le point de vue matrice ou le point de vue application linéaire canoniquement associée.

En dimension finie seulement (enfin, après, on peut étendre la notion de matrice en dimension infinie mais ça dépasse le cadre du programme).

Disons que l'intérêt d'une matrice, c'est qu'elle est plus maniable que le plan du calcul que l'endomorphisme. En fait, on se rend compte de l'intérêt de tout ça quand on fait la réduction en spé je pense.

Mais si tu veux, la matrice, c'est un peu la carte d'identité d'un endomorphisme, mais elle sert aussi à traduire des systèmes.
Si par exemple, tu as devant toi le système :
3x + 2y + z = 1
2x + 5y + 3z = 2
x + y + z = 3

Il se traduit matriciellement en posant X = <<x>|<y>|<z>> et A = <<3,2,1>|<2,5,1>|<1,3,1>> et B = <<1>|<2>|<3>> (notation Maple) par :
AX = B

Et là si par exemple A est inversible et que tu connais son inverse, il vient X = A^(-1) B par exemple, et même si ça reste traduisible par des endomorphismes, ici, les calculs sont plus "compacts" avec des matrices.

Quelques autres exemples plus intéressants :
Relation de suites définies par récurrences linéaires interdépendantes :
Tu considères x,y,z trois suites, de premiers termes donnés, définies par récurrence du genre :
x(n+1) = 3xn + 2yn + zn
y(n+1) = 2xn + 5yn + 3zn
z(n+1) = xn + yn + zn
Et là, question classique : "déterminer l'expression de x, y et z en fonction de n..."

Bah en posant U(n) = <<xn>|<yn>|<zn>> tu te rends compte que :
U(n+1) = A U(n)
(avec les notations précédentes).
Par une récurrence assez simple il vient :
U(n) = A^n * U(0)

Le calcul des puissances de A, qui se fait par récurrence dans des cas simples, ou en diagonalisant (tu verras ça en spé, en gros, ça consiste à transformer A en D où D diagonale - quand c'est possible -, le calcul des puissances est immédiat alors), donne finalement U(n), et donc xn,yn, et zn.

En fait, l'intérêt des matrices en mon sens, c'est de marquer la transition entre un système linéaire et une interprétation en terme d'endomorphisme. Et son intérêt réside dans l'aspect calculatoire qui est plus facile à manipuler que celui des endomorphismes.

En gros, si tu as un exo "d'algèbre linéaire pure" genre montrer une inclusion de noyaux, etc, il est plus commun de passer par les endomorphismes,
si il s'agit plutôt de faire des calculs dans un contexte où ton endomorphisme est explicitement donné (par l'image d'une base par exemple), souvent l'interprétation matricielle est très pratique.
Puis les matrices servent pour bien d'autres outils que le déterminant, que tu verras probablement par la suite (enfin, je ne sais pas trop où en est le programme de PC à ce propos) : trace, exponentielle de matrice, formes quadratiques... Ah oui, et une matrice, ça se transpose facilement et la notion de matrice symétrique (égale à sa transposée) joue un rôle fondamental dans les espaces euclidiens... C'est moins commode en matière d'endomorphisme.

Je dis tout ça parce que quand j'étais à ta place, j'ai moi aussi eu du mal à digérer les matrices, je trouvais ça vraiment inutile, lourd, chiant à calculer... Puis aujourd'hui, c'est limite si je ne traduits pas mes endomorphismes en matrices... ^^

De toute façon, une fois qu'on a bien compris que c'était la même chose...

[charlestiran]

Alors d'après le cours on sait que l'on peut indifféremment raisonner dans un exo avec le point de vue matrice ou le point de vue application linéaire canoniquement associée.

En dimension finie seulement (enfin, après, on peut étendre la notion de matrice en dimension infinie mais ça dépasse le cadre du programme).

Tu peux développer vite fait, sans rentrer dans les détails ? Je sais qu'on voit en spé les sommes infinies et je vois vite fait, passage à la limite dans la somme finie quoi.. Bref j'ai pas la rigueur surement mais je vois à la physicienne (donc je vois mais je comprends rien ^^) ce que c'est. Pour l'extension des matrices à la dim infinie je vois pas.

Sinon merci pour ta vision des choses sur l'utilisation des matrices ou des endomorphismes.