extremum locaux, globaux ?

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extremum locaux, globaux ?

Messagepar RRRjIO » Sam Avr 21, 2012 11:20 pm

Bonsoir,
Je poste ce message tout simplement pour avoir quelques indications sur le calcul d'extremums dans le chapitre sur le calcul différentiel.
Pour les extremums locaux je n'ai pas de soucis :
_ Calcul de point critique
_ Calcul de R,S et T aux points critiques
_ On conclut en fonction du signe de RT-S²
Cependant j'ai quelques soucis pour les extremums globaux, je ne sais pas comment les calculer. D’après la définition, je n'aurai qu'à déterminer les différents extremums locaux et voir lesquels sont "les plus écarté" tel que ----> Minimum global < f(x) < Maximum global . Cela me semble bien long ... Y aurai t'il une autre méthode s'il vous plait ?

Pour finir, quand pouvons nous dire qu'un extremum est atteint car j'ai vu cette notion dans différents livres ...

Merci d'avance de vos réponses

Cordialement
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Re: extremum locaux, globaux ?

Messagepar Hoetre » Dim Avr 22, 2012 12:26 am

Hum, bon, je ne suis pas une bête en calcul diff donc attends que quelqu'un confirme ce que je te raconte ^^

Voilà comment j'ai compris les choses :

Les maximums globaux sont en particuliers des maximums locaux.
Donc dans ta recherche, tu as exhibé un certain nombre (parfois infini, genre "le cercle unité") de maximum locaux (et d'autres qui ne le sont pas --> points cols)

Et parmi ces maximums locaux se trouvent ton/tes maximums globaux. Il suffit juste de regarder "lesquels sont les plus grands".

Dis comme ça ça peut sembler un peu bizarre, mais en fait sur un exemple ça devient plus simple, si tu as mettons 3 ou 4 extremums locaux, tu regardes les valeurs prises par ta fonction ( f(x,y) généralement) en chacun des extremums locaux, et tu regardes la plus grande de ces valeurs.
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Re: extremum locaux, globaux ?

Messagepar RRRjIO » Dim Avr 22, 2012 1:36 am

Hoetre a écrit: Donc dans ta recherche, tu as exhibé un certain nombre (parfois infini, genre "le cercle unité")


Genre le cercle unité ? Pourquoi le cercle unité admet une infinité de maximum locaux ? ( Admet t'il une infinité de point critiques ? )

Sinon pour le reste j'avais compris cela aussi mais je me disais qu'à chaque fois calculer tous les maximums locaux c’était assez long. Donc y a t'il une autre méthode ?

En tout cas merci pour ta réponse Hoetre :)
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Re: extremum locaux, globaux ?

Messagepar compte supprimé » Dim Avr 22, 2012 2:16 am

Note : on fait parfois du calcul diff sur un fermé comme le disque unité fermé de R^2. Sur l'ouvert union sa frontière en fait..
Il faut alors comparer aussi les valeurs sur la frontière.
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Re: extremum locaux, globaux ?

Messagepar TooBad » Dim Avr 22, 2012 9:17 am

Hoetre a écrit:
Et parmi ces maximums locaux se trouvent ton/tes maximums globaux. Il suffit juste de regarder "lesquels sont les plus grands".

Dis comme ça ça peut sembler un peu bizarre, mais en fait tu as mettons 3 ou 4 extremums locaux, tu regardes les valeurs prises par ta fonction ( f(x,y) généralement) en chacun des extremums locaux, et tu regardes la plus grande de ces valeurs.


Il ne fait pas seulement comparer la valeur des extrêma locaux entre eux mais plutôt la valeure de f en 'un extrêmum local avec toutes les valeurs que peut prendre f. Par exemple si on part de R, la fonction x-> x^3 -x +1 admet deux extrema locaux mais pas dextremum global. Tu peux trouver un exmpke du même style en partant de R^2
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Re: extremum locaux, globaux ?

Messagepar Ragoudvo » Dim Avr 22, 2012 9:31 am

En recherche d'extrema, les contre-exemples sont quasiment toujours sur des fonctions de \mathbb{R} dans lui-même (sauf les points-selle) ; autrement dit, si vous avez une propriété que vous pensez "évidente", commencez par vérifier sur un dessin qu'elle est toujours vraie pour de telles fonctions...
\displaystyle \partial_t u + (u\cdot \nabla) u = \nu \Delta u - \nabla p \quad , \quad \mathop{\rm div}(u)=0.
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Re: extremum locaux, globaux ?

Messagepar Hoetre » Dim Avr 22, 2012 11:19 am

RRRjIO a écrit:
Hoetre a écrit: Donc dans ta recherche, tu as exhibé un certain nombre (parfois infini, genre "le cercle unité")


Genre le cercle unité ? Pourquoi le cercle unité admet une infinité de maximum locaux ? ( Admet t'il une infinité de point critiques ? )

Sinon pour le reste j'avais compris cela aussi mais je me disais qu'à chaque fois calculer tous les maximums locaux c’était assez long. Donc y a t'il une autre méthode ?

En tout cas merci pour ta réponse Hoetre :)


Non non mais quand je disais le cercle unité, c'est que tu peux trouver comme points critiques :
"les points (x,y) tels que x^2 + y^2 = 1"

J'ai un peu de mal à construire un exemple, mais disons que la condition "df/dx = df/dy = 0" ne donne pas forcément un nombre fini de points critiques.

A priori je ne connais pas d'autre méthode, et celle-là à le mérite de fonctionner généralement.

Pour ce qui est du calcul diff pour un fermé, c'est vrai. Là ça complique un peu le truc, si je ne dis pas de connerie, faut regarder sur la frontière, et sur l'ouvert intérieur c'est ça ?
Et après on compare les deux.

J'ai bon ?
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Re: extremum locaux, globaux ?

Messagepar compte supprimé » Dim Avr 22, 2012 2:07 pm

Oui, c'est d'ailleurs ce qui est le plus logique quand on regarde travaille dans un segment
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