Exercices de MPSI

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Death Cube K
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Exercices de MPSI

Message par Death Cube K » jeu. juin 28, 2012 2:13 pm

Salut,

J'aimerais bien arriver en MPSI, du coup j'ai commencé à réviser mon programme de TS, mais bon j'aimerais des exos dans l'esprit prépa, c'est à dire où il faut réfléchir un peu plus, mais avec les notions de terminale.

Ce topic ne s'adresse pas qu'à moi, ça serait même sympa de résoudre des trucs à plusieurs.

Merci

mehdinho
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mehdinho » jeu. juin 28, 2012 2:34 pm

Bon, un exercice un peu difficile pour un TS (je crois même sans trop m'avancer que pas mal de spé qui le rencontrent pour la première fois auront du mal à y arriver)
Soit f et g deux applications continues de I=[0,1] dans I. On suppose que fog=gof. Montrer que f et g admettent un point fixe commun.

compte supprimé

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par compte supprimé » jeu. juin 28, 2012 2:49 pm

Un peu chaud quand même. Le voici en plus guidé + corrigé :
SPOILER:


Je donne quelques uns plus accessibles:
-Soit f une fonction continue sur [0;1] telle que f(0)=f(1). Montrer que l'équation \( f(x+\frac{1}{2})=f(x) \) admet une solution sur [0;\( \frac{1}{2} \)]. Généralisation?
- Soient a et b deux complexes. Montrer que \( |a-b|=|1-\overline{a}b| \) si et seulement si \( |a| = 1 \) ou \( |b| = 1 \)
- Montrer que pour tout x strictement positif : \( \int_{x}^{1} \frac{1}{t^{2}+1}dt = \int_{1}^{\frac{1}{x}}\frac{1}{t^{2}+1}dt \)
Modifié en dernier par compte supprimé le jeu. juin 28, 2012 2:54 pm, modifié 2 fois.

Death Cube K
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Death Cube K » jeu. juin 28, 2012 2:52 pm

J'étais en train de prendre un exemple, f(x)=2x et g(x)=x, la composée commute et les 2 admettent un point fixe en 0, mais j'arrive pas le prouver.

mehdinho
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mehdinho » jeu. juin 28, 2012 2:55 pm

Ils sont en vacance et ont du temps à tuer. A mon avis pas la peine de voir les questions préliminaires quitte à plancher dessus 2/3h et de ressayer demain par exemple.
Fonction réelle continue, on peut faire pas mal de petits schémas quand même.

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Dohvakiin
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Dohvakiin » jeu. juin 28, 2012 2:55 pm

J’étais parti sur de l'absurde aussi mais je bloquais un peu :?

Phylov, ton premier exercice ressemble beaucoup au 2eme exercice du CG 2005 non :mrgreen: ?
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Death Cube K
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Death Cube K » jeu. juin 28, 2012 2:56 pm

Dohvakiin t'avais trouvé toi ? o_o

compte supprimé

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par compte supprimé » jeu. juin 28, 2012 3:05 pm

@mehdinho : ok.
@ Dohvakiin : Il lui ressemble mais c'est pas du tout le même niveau de difficulté :)

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moamoa
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par moamoa » jeu. juin 28, 2012 3:14 pm

Concernant l'exercice de Mehdinho, montrer l'existence d'un point d'égalité se fait assez rapidement par l'absurde. Par contre montrer qu'il s'agit d'un point fixe demanderait que je m'y penche un peu plus mais comme il fait très beau aujourd'hui.. :mrgreen:
J'essaierai de poster un exo de niveau TS+ sur les complexes si j'y pense.

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Dohvakiin
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Dohvakiin » jeu. juin 28, 2012 3:18 pm

Death Cube K a écrit :Dohvakiin t'avais trouvé toi ? o_o


Celui de mehdinho? J'ai pas trop cherché, j'ai montré que les deux fonctions avaient un point fixe, puis j'ai supposé qu'ils etaient différents et après... Phylov a mis son lien donc je suis allé voir :mrgreen:
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Death Cube K » jeu. juin 28, 2012 3:20 pm

Comment tu montres qu'elles ont un point fixe ?

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Dohvakiin
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Dohvakiin » jeu. juin 28, 2012 3:24 pm

On le montre pour f (même raisonnement pour g):

f admet un point fixe ssi il existe un a de [0;1] tq f(a)=a.

On pose h(x)=f(x)-x définie sur [0;1]. h(0) = f(0)>0 et h(1) = f(1)-1<0, TVI, il existe a tq f(a)-a = 0 et c'est bon
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Dohvakiin » jeu. juin 28, 2012 3:29 pm

Assez classique (en tout cas en sup je crois):

Calculer \( \sum_{k=0}^{n}{cos(kx) \) (x réel)
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Death Cube K » jeu. juin 28, 2012 3:33 pm

Mais comment tu sais que h(0)>0 et h(1)<0, et puis si ça se trouve la fonction n'est pas monotone, donc tu peux avoir 2 pts fixes.

EDIT : j'avais pas vu qu'on arrivait dans le même ensemble.
Modifié en dernier par Death Cube K le jeu. juin 28, 2012 3:37 pm, modifié 1 fois.

Valvino
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Valvino » jeu. juin 28, 2012 3:34 pm

Je veux pas me faire de la pub, mais tu peux jeter un coup d'oeil sur mon site je propose des DM intéressants :wink:

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