Exercices de MPSI

[adamard10]

SPOILER:

Il n'y a aucune période dans ses décimales, je serais tenté de dire non

[symétrie]

C'est justement ça qu'il faut montrer proprement. Ça n'est pas un exercice incroyablement dur, mais il y a quand même un petit argument à donner.

[symétrie]

Oui, désolé du manque de précision.

[Asymetric]

Un de mes résultats favoris :

Soit une sphère dont la surface est entièrement peinte en blanc initialement.
Puis un jour on décide de peindre $ 12.49\% $ de cette surface en rouge.
Montrer qu'il existe un parallélépipède rectangle inscrit dans la sphère dont tous les sommets sont blancs.

[adamard10]

SPOILER:

On peut dire que la plus petite distance séparant deux mêmes chiffres est arbitrairement grande?

[Asymetric]

Ça ne marcherait pas avec 1/8+epsilon de la sphère en rouge..?

Pas toujours, en revanche je peux proposer comme question subsidiaire :

Trouver la borne supérieur des $ \epsilon $ tel que si on peint $ \displaystyle \frac{3}{25} + \epsilon $ de la sphère en rouge, alors il existe nécessaire un parallélépipède rectangle inscrit dont tous les sommets sont blancs.

SPOILER:

On peut dire que la plus petite distance séparant deux mêmes chiffres est arbitrairement grande?

Que dis-tu pour $ 0.33.. = \displaystyle \frac{1}{3} $ alors ?

[adamard10]

Dans ce cas la plus petite distance est 1 non?

[symétrie]

Ouais ça doit marcher.

[Asymetric]

Dans ce cas la plus petite distance est 1 non?

Bah dans ce cas, je n'ai pas compris ce que tu voulais dire, puisque pour moi, la plus petite distance, c'est toujours $ 1 $ dans $ 0,1223334444555556666667777777.. $.
Et je considère chiffre comme étant un entier entre $ 0 $ et $ 9 $.

[symétrie]

C'est sans doute que je n'ai pas été assez clair. Après les 7, le chiffre 8 apparaît 8 fois, puis le chiffre 9 apparaît 9 fois, puis la suite 10 apparaît 10 fois, etc. et ce dans l'ordre indiqué.