Exercices de MPSI

[Piko]

C'est ça. L'exo est simple mais attend que je rajoute les dernières questions.

[Piko]

Raté

[Piko]

Soit $ X $ une bijection de $ \mathbb{N} $ dans lui-même. Montrer qu'il existe trois naturels $ a, b $ et $ c $ tels que $ a < b < c $ et $ X(a) + X(c) = 2X(b) $

Indications :

SPOILER:

La bijectivité la fonction nous intéresse parce qu'elle nous permet de dire que $ X(\mathbb{N}) $ n'est que $ \mathbb{N} $ mais dans un "autre sens", et aussi parce qu'elle nous permet d'affirmer que $ X $ admet une réciproque elle aussi bijective.

On peut remarquer que $ X(b)-X(a)=X(c)-X(b) $

$ X $ admet une unique racine $ x_0 $. Pourquoi ? On peut alors choisir $ a=x_0 $

[Piko]

Encore raté.

Tiens tu me fais douter maintenant, je suis fatigué je ne sais plus si ça se dit. C'est une fonction $ f $ soit strictement croissante soit strictement décroissante, définie pour tout naturel et telle que pour tout naturel $ x $, $ f(x) $ est un naturel.

[Hoetre]

Encore raté.

Tiens tu me fais douter maintenant, je suis fatigué je ne sais plus si ça se dit. C'est une fonction $ f $ soit strictement croissante soit strictement décroissante, définie pour tout naturel et telle que pour tout naturel $ x $, $ f(x) $ est un naturel.

Une application strictement décroissante de $ \mathbb{N} $ dans lui-même, ça me semble un peu tendu quand même.

[MihoAzuki]

Encore raté.

Tiens tu me fais douter maintenant, je suis fatigué je ne sais plus si ça se dit. C'est une fonction $ f $ soit strictement croissante soit strictement décroissante, définie pour tout naturel et telle que pour tout naturel $ x $, $ f(x) $ est un naturel.

Une application strictement décroissante de $ \mathbb{N} $ dans lui-même, ça me semble un peu tendu quand même.

Ah, j'étais pas le seul à penser comme ça!
Et même si elle est croissante, je pense que son truc marche pas trop, si?

[Piko]

Edit : rah putain je me suis planté dans l'énoncé, forcement. Il faut inverser b et c. Désolé.

[MihoAzuki]

Je me lance (c'est beau le latex).

Soit $ (u_{n}) $ définie pour tout naturel par

$ u_{0}=0 $
$ u_{2n}=u_n $
$ u_{2n+1}=1-u_n $

$ 1. $ Calculer $ u_{1990} $.

$ 2. $ Déterminer les valeurs que peut prendre $ u_n $ pour tout naturel.

$ 3. $ Calculer $ \sum_{k=0}^{1990} u_n $.

SPOILER:

non, ce n'est pas une erreur

$ 4. $ Déterminer le nombre d'indices $ n \leqslant 1990 $ pour lesquels $ u $ s'annule.

$ 5. $ Démontrer que : $ u_{2^n q}=u_q $

$ 6. $ Soit $ x=(2^k-1)^2 $ avec $ k $ un naturel. Calculer $ u_x $ en fonction de $ k $.


Cet exercice est, je suis fier de l'annoncer, entièrement approuvé en-programme.

SPOILER:

$ 1. $ $ u_{1990} $ = U(995) = 1 - U(497) = U(248) = U(124) = U(62) = U(31) = 1-U(15) = U(7) = 1-U(3) = U(1) = 1-U(0) = 1
$ u_{1990} = 1 $

2.
U0 = 0, U1 = 1.
Supposons qu'à un n fixé, Un = 0 ou 1.
Alors U(2n) = 0 ou 1, et U(2n+1) = 1-0 = 1 ou 1-1 = 0.
On a donc montré que si U(n) = 0 ou 1; U(2n) = 0 ou 1, et U(2n+1) = 0 ou 1.
Vu que U0 = 0 et U1 = 1, on a donc montré que pour tout entier naturel n, U(n) = 0 ou 1. (Je doute sur ça, mais bon, ça me parait ok.. )

$ 3. $ $ \sum_{k=0}^{1990} u_{n} = 1991u_n $. ( )

$ 4. $
$ u_{2n}=u_n $
$ u_{2n+1}=1-u_n $
Donc $ u_{2n}+ u_{2n+1}=1 $
D'où U(0) + U(1) = 1, U(2) + U(3) = 1, ... U(1988) + U(1989) = 1
Vu que les seules valeurs que peut prendre U sont 0 et 1, donc pour chaque "couple" de termes (U(2n) et U(2n+1)), l'un est nul, l'autre égal à 1.
De U(0) à U(1989), il y a (1988/2) +1 couples, c'est-à-dire 995 couples. Donc de U(0) ) U(1989), 995 termes s'annulent. U(1990) = 1.
Il y a donc 995 indices $ n \leqslant 1990 $ pour lesquels U s'annule!

$ 5. $ Récurrence, pas compliqué. On vérifie pour n = 0. Supposons que, à un n fixé, $ u_{2^n q}=u_q $. Par hypothèse, $ u_{2n}=u_n $ donc $ u_{2^{n+1} q} = u_{2^{n} q} = u_q $ . Hypothèse de récurrence vérifiée.

J'ai pas encore rédigé de preuve correcte pour le 6, je ferai ça un peu plus tard dans la soirée, et j'editerai!

[Piko]

Pour le 3., certes, mais on veut un nombre ! Utilise ce que tu as fait pour le 4 rétroactivement, au pire.

[MihoAzuki]

Soit $ X $ une fonction strictement monotone de $ \mathbb{N} $ dans lui-même. Montrer qu'il existe trois naturels $ a, b $ et $ c $ tels que $ a < b < c $ et $ X(a) + X(c) = 2X(b) $

Indications :

SPOILER:

La stricte monotonie de la fonction nous intéresse parce qu'elle nous permet de dire que $ X(\mathbb{N}) $ n'est que $ \mathbb{N} $ mais dans un "autre sens".

On peut remarquer que $ X(b)-X(a)=X(c)-X(b) $

$ X $ admet une unique racine $ x_0 $. Pourquoi ? On peut alors choisir $ a=x_0 $

Encore raté.

Tiens tu me fais douter maintenant, je suis fatigué je ne sais plus si ça se dit. C'est une fonction $ f $ soit strictement croissante soit strictement décroissante, définie pour tout naturel et telle que pour tout naturel $ x $, $ f(x) $ est un naturel.

SPOILER:

Premièrement, X ne peut être strictement décroissante: En effet, si elle l'est, vu que est une application de N dans N, alors $ X(n+1) \leq X(n) -1 $, et vu qu'elle est minorée par 0, on se rend compte que c'est pas possible. (c'est assez mal expliqué, mais.. l'idée est là? )

Donc X(n) est strictement croissante, et alors $ X(n+1) \geq X(n) + 1 $ .
Dans ce cas, si $ a < b < c, X(b) = X(a) + q $; q étant un entier naturel, et $ X(b) = X(c) - k $, k étant un entier naturel aussi.

Or, dire que X(a) + X(c) = 2X(b) <=> X(b) - q + X(b) + k = 2X(b) <=> k = q.
Donc c'est vrai si et seulement si la "distance" entre X(a) et X(b) est à un moment la même que celle entre X(b) et X(c), ce qui n'est pas tout le temps vrai..? (X(n) = n², par exemple, elle réunit les conditions données plus haut, mais ne vérifie pas l'énoncé).
Non?

Pour le 3., certes, mais on veut un nombre !

Non, si tu veux un nombre, faut changer la question!