Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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MihoAzuki
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MihoAzuki » ven. juil. 24, 2015 6:17 am

Piko a écrit :Soit $ X $ une fonction strictement monotone de $ \mathbb{N} $ dans lui-même. Montrer qu'il existe trois naturels $ a, b $ et $ c $ tels que $ a < b < c $ et $ X(a) + X(c) = 2X(b) $

Indications :
SPOILER:
La stricte monotonie de la fonction nous intéresse parce qu'elle nous permet de dire que $ X(\mathbb{N}) $ n'est que $ \mathbb{N} $ mais dans un "autre sens".

On peut remarquer que $ X(b)-X(a)=X(c)-X(b) $

$ X $ admet une unique racine $ x_0 $. Pourquoi ? On peut alors choisir $ a=x_0 $


Piko a écrit :Encore raté. :)

Tiens tu me fais douter maintenant, je suis fatigué je ne sais plus si ça se dit. C'est une fonction $ f $ soit strictement croissante soit strictement décroissante, définie pour tout naturel et telle que pour tout naturel $ x $, $ f(x) $ est un naturel.



SPOILER:
Premièrement, X ne peut être strictement décroissante: En effet, si elle l'est, vu que est une application de N dans N, alors $ X(n+1) \leq X(n) -1 $, et vu qu'elle est minorée par 0, on se rend compte que c'est pas possible. (c'est assez mal expliqué, mais.. l'idée est là? :lol: )

Donc X(n) est strictement croissante, et alors $ X(n+1) \geq X(n) + 1 $ .
Dans ce cas, si $ a < b < c, X(b) = X(a) + q $; q étant un entier naturel, et $ X(b) = X(c) - k $, k étant un entier naturel aussi.

Or, dire que X(a) + X(c) = 2X(b) <=> X(b) - q + X(b) + k = 2X(b) <=> k = q.
Donc c'est vrai si et seulement si la "distance" entre X(a) et X(b) est à un moment la même que celle entre X(b) et X(c), ce qui n'est pas tout le temps vrai..? (X(n) = n², par exemple, elle réunit les conditions données plus haut, mais ne vérifie pas l'énoncé).
Non?


Piko a écrit :Pour le 3., certes, mais on veut un nombre !


Non, si tu veux un nombre, faut changer la question! :mrgreen:
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » ven. juil. 24, 2015 6:19 am

Pour me faire pardonner :

Soit $ (u_n) $ une suite définie par $ u_0 > 0 $ et $ u_{n+1}=\sqrt u_n + 1/(n+1) $

On cherche à démontrer que $ u $ est décroissante à partir d'un certain rang.
Modifié en dernier par Piko le ven. juil. 24, 2015 9:27 am, modifié 2 fois.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » ven. juil. 24, 2015 6:31 am

En gros, je viens de me rendre compte que tu peux pas formuler correctement l'exercice sans utiliser le mot bijection. Donc $ X $ est une bijection. Voilà. :mrgreen:
Pour ce qui est de la question 3, oui, bon. Passons. :mrgreen:
Modifié en dernier par Piko le ven. juil. 24, 2015 6:39 am, modifié 1 fois.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MihoAzuki » ven. juil. 24, 2015 6:36 am

Piko a écrit :Pour ce qui est du contre exemple qu'est x^2, c'est parce que j'ai plus ou moins passé sous silence ( :mrgreen: ) une hypothèse ne servant à rien dans la solution, c'est à dire qu'on doit avoir X(N)=N, ce qui n'est pas le cas avec la fonction carrée (Si X(n)=n^2, X(N) ne continent pas 2, par exemple). Il suffit juste de trouver des b et c qui fonctionnent, il n'y a aucune démonstration, en fait.


Si on doit avoir X(N) = N, on peut juste prendre 0; 1 et 2.. :mrgreen:

Et ce qui est de la question 3, ça fait 996, en utilisant U(2n) + U(2n+1) = 1, et en modifiant la somme en: $ ( \sum_{i=0}^{994} u_{2i} + u_{2i+1} ) + u_{1990} $ !

(Et on m'appelle "El Pinaillor Jr". 8) )
Modifié en dernier par MihoAzuki le ven. juil. 24, 2015 6:44 am, modifié 3 fois.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » ven. juil. 24, 2015 6:41 am

Ah mais en fait une bijection sur N c'est un truf de ouf ! :shock:

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MihoAzuki » ven. juil. 24, 2015 6:45 am

Piko a écrit :Ah mais en fait une bijection sur N c'est un truf de ouf ! :shock:


Ahahah!
D'ailleurs, je me demandais si y avait des bijections sur N autres que X(n) = n... :?:
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » ven. juil. 24, 2015 6:58 am

Bah ouais, une infinité. Il suffit de dire par exemple : u_0=1, u_1 = 0, u_n = n pour n > 1 pour en trouver une autre.

Je te rédige une ébauche de solution pour l'exercice sur X. Vu mon état intellectuel d'ici mi-aout c'est fait. :)

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MihoAzuki » ven. juil. 24, 2015 7:02 am

Piko a écrit :Bah ouais, une infinité. Il suffit de dire par exemple : u_0=1, u_1 = 0, u_n = n pour n > 1 pour en trouver une autre.

Je te rédige une ébauche de solution pour l'exercice sur X. Vu mon état intellectuel d'ici mi-aout c'est fait. :)


Ahah, merci, mais je pense savoir comment faire.
Déjà on montre qu'elle est croissante, strictement.
Et donc que U(n+1) >= U(n) +1
Or, c'est une bijection.
Donc U(n) = n (ça semble logique).

Et là il suffit de trouver un exemple, non?
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » ven. juil. 24, 2015 7:06 am

Non, elle n'est pas croissante du tout, justement, c'est pour ça que je disais que les bijections sur N c'est ouf.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MihoAzuki » ven. juil. 24, 2015 7:10 am

Mais.. elle était pas censée être strictement monotone aussi? :cry:
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » ven. juil. 24, 2015 7:19 am

Non justement, j'ai dans mon sommeil essayé de traduire l'injectivité comme s'il s'agissait d'une fonction réelle. Elle est seulement bijective

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » ven. juil. 24, 2015 7:41 am

En gros voilà une ébauche de solution :

SPOILER:
On cherche donc à trouver $ a,b,c $ tels que $ a<b<c $ et $ X(a)+X(c)=2X(b) $

On pose $ X(a) = x $, $ X(b)= y $ et $ X(c)= z $. On reformule la condition : $ x+z=2y $


On choisit $ a $ de façon à ce que ce soit la racine de $ X $. On obtient $ x=0 $, il ne reste donc plus qu'à prouver qu'il existe $ b, c $ tels que $ z=2y $

J'ai le libre choix de $ y $, je le choisis donc supérieur au plus grand élément de$ X([[0, a]]) $ que l'on nomme $ m $. Cela me permet de savoir que $ X^{-1}(2y) $ n'est pas situé entre $ 0 $ et $ a $.

On cherche finalement à prouver que $ c $ peut être antécédent de $ 2y $, c'est-à-dire que $ X^{-1}(2y)>b $

Le seul problème possible serait donc que $ a < c <b $. Or si c'est le cas, cela veut dire qu'il est impossible de trouver un $ q>m $ tel que $ X^{-1}(2q)> X^{-1}(q) $ (puisque sinon on aurait pris celui la). Donc $ \forall q>m, X^{-1}(q)>X^{-1}(2q)>X^{-1}(4q)>...>a $, ce qui est impossible puisqu'il y a un nombre fini de terme entre$ X^{-1}(q) $ et $ a $

Donc pas de problème, et on a bien $ x+z=2y $


Je me suis probablement planté, mais la volonté y est. :)

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Message par Hoetre » ven. juil. 24, 2015 9:05 am

MihoAzuki a écrit :$ 3. $ $ \sum_{k=0}^{1990} u_{n} = 1991u_n $. ( :?: )



Piko a écrit :Pour le 3., certes, mais on veut un nombre ! Utilise ce que tu as fait pour le 4 rétroactivement, au pire.


Non pas "certes" ! =P La réponse proposée ici n'a pas de sens : dans la somme dont on parle, $ n $ est ce qu'on appelle un indice "muet", c'est à dire qu'il n'a aucun sens en dehors de la somme. D'ailleurs, on ne l'a pas "déclaré" avant (genre on n'a pas dit "soit $ n $ un entier naturel...".

Ainsi, on ne peut pas écrire la valeur d'une somme en faisant intervenir l'indice de sommation dans le résultat!

Pour l'idée avec ce que vous connaissez déjà, c'est comme si on vous demande la limite d'une fonction donnée par $ f(x) $ en $ + \infty $, et que vous donnez un résultat qui dépend de $ x $, ça n'a pas de sens !

Bref, faites attention ;)

PS : c'est tout à fait normal de faire ce genre d'erreur avant d'aller en prépa ^^ mais autant vous le dire :)
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Piko » ven. juil. 24, 2015 9:15 am

Merci de ta pédagogie, mais ce n'est pas une erreur ; juste une étourderie à 2h du matin. :) Pourrais-je te demander par contre de vérifier ma tentative de preuve douteuse ? Je suis incapable du moindre effort intellectuel là maintenant. :mrgreen:

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Hoetre » ven. juil. 24, 2015 9:46 am

Piko a écrit :Merci de ta pédagogie, mais ce n'est pas une erreur ; juste une étourderie à 2h du matin. :) Pourrais-je te demander par contre de vérifier ma tentative de preuve douteuse ? Je suis incapable du moindre effort intellectuel là maintenant. :mrgreen:


J'ai pas réfléchi à toutes les notations etc, mais ton point de départ me semble pertinent vu l'exercice. Je suis à peu près convaincu qu'à erreur de notation/détail technique près, c'est juste ;)

En fait, ce pourrait être intéressant de regarder ce qui se passe si on impose $ a $ quelconque (mais je ne sais pas si c'est vrai, et je n'ai pas trop le temps d'y réfléchir là). Genre $ \varphi $ une bijection de $ \mathbb{N} $, a un entier naturel donné, existe-t-il nécessairement $ b,c $ tels que $ a < b < c $ et $ \varphi(b) $ soit la moyenne de$ \varphi(a) \varphi(c) $ ?

(Je pense qu'un raisonnement analogue au tien doit peut-être marcher, et si il ne marche pas ce sera une bonne piste pour chercher un contre-exemple)
Thiers ; Le Parc [5/2]
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