Exercices de MPSI

[Kallio]

Exercice 1.b

$ \forall t\in \left [ 0;1 \right ], 0\leq t^{n+1}\leq t^{n}\Leftrightarrow 1\leq I_{n+1}\leq I_n $. $ (I_n) $ décroissante et minorée par 1 donc convergente vers un réel $ l\geq 1 $.
Posons $ u = t^{n} $. $ \forall t\in \left [ 0;1 \right ], t^{n}=u\in \left [ 0;1 \right ] $ et d'après 1.a, $ \forall u\in \left [ 0;1 \right ], e^{0}\leq e^{u}\leq 1 + (e-1)t^{n} \Leftrightarrow 1\leq \ In \leq 1 + \frac{e-1}{n+1} $ donc d'après le théorème d'encradrement, $ In \rightarrow 1 $.

Je vous avoue que pour le 2 j'en ai aucune idée.

[MSman]

Un peu d'arithmétique tombé à l'oral des mines cette année :
Soit $ n \in \mathbb N $. A quelle condition nécessaire et suffisante $ n^4 + 4^n $ est-il premier ?

[Asymetric]

Un peu d'arithmétique tombé à l'oral des mines cette année :
Soit $ n \in \mathbb N $. A quelle condition $ n^4 + 4^n $ est-il premier ?

Si $ n = 1 $ ça marche.

[L'hommeMasque]

Ça suffit de dire ça ?

[Asymetric]

Oui.

[symétrie]

Non.

[bullquies]

Oui.

Non.

L'ironie du truc

[Thomaths]

Un peu d'arithmétique tombé à l'oral des mines cette année :
Soit $ n \in \mathbb N $. A quelle condition $ n^4 + 4^n $ est-il premier ?

J'essaie de le démontrer. J'ai ça, je bloque juste sur la fin :

SPOILER:

Pour $ n \in \mathbb N $, on a : $ 4^n \equiv 0 \pmod 2 $, donc si n pair $ 4^n + n^4 \equiv 0 \pmod 2 $, et n impair $ 4^n + n^4 \equiv 1 \pmod 2 $ par conséquent n est impair pour avoir un nombre premier.
En développant $ (n^2+2^n)^2 $ on obtient : $ (n^2+2^n)^2 = n^4+4^n+2^{n+1}*n^2 $
D'où : $ 4^n + n^4 = (n^2+2^n - 2^{(n+1)/2}*n)(n^2+2^n + 2^{(n+1)/2}*n) $
On souhaite maintenant montrer que $ 4^n + n^4 $ est premier si et seulement si $ n=1 $
Pour $ n=1 $, $ n^2+2^n + 2^{(n+1)/2}*n=5 $ et $ n^2+2^n - 2^{(n+1)/2}*n=1 $ : c'est bon.
Pour $ n > 1 $, on a $ n^2+2^n + 2^{(n+1)/2}*n > 1 $.
On arrive au point difficile : je n'arrive pas à montrer $ n^2+2^n - 2^{(n+1)/2}*n > 1 $ pour $ n > 1 $... Des idées ?

[MSman]

Un peu d'arithmétique tombé à l'oral des mines cette année :
Soit $ n \in \mathbb N $. A quelle condition $ n^4 + 4^n $ est-il premier ?

J'essaie de le démontrer. J'ai ça, je bloque juste sur la fin :

SPOILER:

Pour $ n \in \mathbb N $, on a : $ 4^n \equiv 0 \pmod 2 $, donc si n pair $ 4^n + n^4 \equiv 0 \pmod 2 $, et n impair $ 4^n + n^4 \equiv 1 \pmod 2 $ par conséquent n est impair pour avoir un nombre premier.
En développant $ (n^2+2^n)^2 $ on obtient : $ (n^2+2^n)^2 = n^4+4^n+2^{n+1}*n^2 $
D'où : $ 4^n + n^4 = (n^2+2^n - 2^{(n+1)/2}*n)(n^2+2^n + 2^{(n+1)/2}*n) $
On souhaite maintenant montrer que $ 4^n + n^4 $ est premier si et seulement si $ n=1 $
Pour $ n=1 $, $ n^2+2^n + 2^{(n+1)/2}*n=5 $ et $ n^2+2^n - 2^{(n+1)/2}*n=1 $ : c'est bon.
Pour $ n > 1 $, on a $ n^2+2^n + 2^{(n+1)/2}*n > 1 $.
On arrive au point difficile : je n'arrive pas à montrer $ n^2+2^n - 2^{(n+1)/2}*n > 1 $ pour $ n > 1 $... Des idées ?

Ouais pour le moment c'est la bonne idée.

SPOILER:

Tu peux par exemple écrire $ n^2+2^n - 2^{\frac{n+1}{2}}*n=n^2 + 2^{\frac{n+1}{2}}(2^{\frac{n-1}{2}}-n) $ tu peux essayer de montrer que la quantité $ 2^{\frac{n-1}{2}}-n $ est positive pour $ n \geq 7 $.

[Asymetric]

Non.

Je vois pas pourquoi ça suffit pas. MSman n'a pas demandé de condition nécessaire et suffisante.
Quand on demande juste une condition, je prends ça comme condition suffisante.