Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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lsjduejd
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par lsjduejd » lun. août 10, 2015 10:04 pm

MarvinLeRouge a écrit :Bah si des TS ont envie de t'avoir pour modèle ils piocheront eux meme des exos dans le topic des Mp* hein :)


Ouais, ok.
8)

JeanN
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par JeanN » lun. août 10, 2015 11:45 pm

adamard10 a écrit :Oups, je pensais que "ca revient à dire" signifiait une équivalence


Moi aussi...
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MihoAzuki
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MihoAzuki » mar. août 11, 2015 12:42 am

Dans une école, les étudiants peuvent faire du football ou du basketball. Un cinquième des étudiants qui jouent au football jouent également au basketball et un septième de ceux qui jouent au basketball jouent aussi au football. Si 110 étudiants pratiquent un seul de ces deux sports, combien pratiquent les deux sports ?


SPOILER:
Soit F le nombre d'élèves jouant au foot, et B le nombre de ceux jouant au Basket.
Soit D le nombre d'élèves pratiquant les deux sports, $ D = \frac{1}{5}F = \frac{1}{7}B $ donc $ F = \frac{5}{7}B $

De plus, $ \frac{4}{5}F + \frac{6}{7}B = 110 $ donc $ \frac{10}{7}B = 110 $, on a donc $ B = 77 $, ou encore $ D = 11 $.


Déterminer tous les couples (a,b) d’entiers positifs qui satisfont l’équation a2+10b=2010.


SPOILER:
$ a^2 + 10b = 2010 $
Donc $ a^2 \equiv 0 \pmod {10} $
Alors $ a \equiv 0 \pmod {10} $ , ou encore$ a = 10k $. (on peut observer ça via un tableau de congruence modulo 10)
$ (10k)^2 + 10b = 2010 $
$ 10k^2 + b = 201 $
Et vu que b positif, k < 5 (vu que 10*5² = 250 > 201)
Donc les couples sont:
$ (0;201) ; (10;191) ; (20;161) ; (30; 111); (40;41) $
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MihoAzuki
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MihoAzuki » mar. août 11, 2015 1:48 am

corderaide a écrit :
Un cube d’arête $ n $ cm est peint, puis découpé en $ n^3 $ petits cubes d’arête 1 cm. Ainsi certains de ces petits cubes n’ont aucune face peinte, d’autres en ont une, deux ou trois. Pour quel nombre n le nombre de cubes qui n’ont pas de face peinte est-il égal à celui des cubes qui n’ont qu’une seule face peinte ?


SPOILER:
n=2 ou n=8.
Pour la justification, j'ai essayé de trouver le nombre de cubes colorés sur une/deux/trois/aucune face en fonction de n (ça vaut respectivement 6(n-2)² / 12(n-2) / 8 / (n-2)^3 ) et j'ai trouvé les solutions de (n-2)^3 = 6(n-2)² . :mrgreen: (pour justifier le nombre de cubes colorés sur X faces, j'ai fait un dessin! :lol: )
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Tornado » mar. août 11, 2015 11:51 am

adamard10 a écrit :Tornado : j'ai publié l'exo sans connaitre exactement la démo, j'avais juste vu un exercice sur ça
http://www.academia.edu/9876670/Exp-ln-irrationnel


Merci pour le lien, je regarde quand j'ai le temps ! ;)
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Monsterkuru » mar. août 11, 2015 1:14 pm

Je déterre celui-là , il ma bien plu
KGD a écrit :Un de combinatoire que j'ai beaucoup aimé:
Polya a écrit :Soit $ \alpha\in [0,\pi] $. Pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, on note $ V_n(\alpha) $ le nombre de changements de signes dans la suite $ 1, \cos \alpha, \cos (2\alpha), \cdots, \cos (n\alpha) $.
Montrer que $ \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{V_n(\alpha)}{n} = \frac{\alpha}{\pi} $

VanXoO
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par VanXoO » mar. août 11, 2015 5:08 pm

Monsterkuru a écrit :Je déterre celui-là , il ma bien plu
KGD a écrit :Un de combinatoire que j'ai beaucoup aimé:
Polya a écrit :Soit $ \alpha\in [0,\pi] $. Pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, on note $ V_n(\alpha) $ le nombre de changements de signes dans la suite $ 1, \cos \alpha, \cos (2\alpha), \cdots, \cos (n\alpha) $.
Montrer que $ \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{V_n(\alpha)}{n} = \frac{\alpha}{\pi} $


Lorsque $ \alpha=\pi/k $ ($ k $ entier), ça compte comme un changement de signe les endroits où le cos est nul ? (je suppose que oui mais bon)
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par bullquies » mar. août 11, 2015 5:14 pm

Nope, sinon ca ne marche pas (prendre alpha=pi/2 pour s'en convaincre)

Beau résultat !
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona

VanXoO
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par VanXoO » mar. août 11, 2015 5:17 pm

bullquies a écrit :Nope, sinon ca ne marche pas (prendre alpha=pi/2 pour s'en convaincre)

Beau résultat !


Oui, je veux dire que ça compte une fois et pas 0 (puisqu'on pourrait se dire que de 1 à 0 ça ne change pas de signe, et de 0 à -1 non plus, etc)
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Tornado
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Tornado » mar. août 11, 2015 5:43 pm

Oui ca se compte une seule fois ^^
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Jay Olsen » mar. août 11, 2015 5:45 pm

Nico_ a écrit :
apzoeiruty3 a écrit :J'aurait utilisé le fait que ln(x) est convexe, est-ce cela ?

Arrêtez avec ces réponses de merde svp ça m'énerve beaucoup.

Si tu ne vois pas que le concept de convexité est identique au concept de concavité, je ne peux plus rien pour toi..
Vendue, merci

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par VanXoO » mar. août 11, 2015 5:55 pm

Monsterkuru a écrit :Je déterre celui-là , il ma bien plu
KGD a écrit :Un de combinatoire que j'ai beaucoup aimé:
Polya a écrit :Soit $ \alpha\in [0,\pi] $. Pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, on note $ V_n(\alpha) $ le nombre de changements de signes dans la suite $ 1, \cos \alpha, \cos (2\alpha), \cdots, \cos (n\alpha) $.
Montrer que $ \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{V_n(\alpha)}{n} = \frac{\alpha}{\pi} $


SPOILER:
Bon d'abord, il faut traduire ça géométriquement : on se place sur le cercle unité, on part de 0, et on avance de $ \alpha $ en $ \alpha $. $ V_n(\alpha) $ représente alors le nombre de fois qu'on franchit l'axe des ordonnées (puisque que c'est là que le cos change de signe). Pour simplifier, on va dire qu'on part de $ \pi/2 $ plutôt que de 0, comme ça cela revient juste à compter le nombre de demi-tours qu'on fait (ça change $ V_n(\alpha) $ mais évidemment pas sa limite, un quart de tour ne compte pas en $ +\infty $).
Ainsi, on remarque que $ V_n(\alpha) $ est le quotient de la division euclidienne de $ n\alpha $ par $ \pi $ (c'est pas des entiers mais je suppose qu'il y a une généralisation puisque le principe est le même, corrigez moi si je me tormpe): c'est le nombre de multiples de $ \pi $ inférieurs à $ n\alpha $. Ainsi, on écrit
$ n\alpha=V_n(\alpha)\pi +r $, ce qui revient à écrire $ \frac{V_n(\alpha)}{n} = \frac{\alpha}{\pi} - \frac{r}{n\pi} $.
Comme le dernier terme tend vers 0, on a le résultat voulu.
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Magnéthorax

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Magnéthorax » mer. août 12, 2015 2:30 pm

Bonjour,

pour tout entier naturel non nul $ n $, on note $ n! $ le produit des entiers consécutifs $ 1,\ldots,n $. Par exemple : $ 3!=1\times 2\times 3=6 $.

1. Soit $ x $ un nombre réel. Etudiez la convergence de la suite $ (\frac{x^n}{n!}) $.

2. Etudiez la convergence de la suite $ (\frac{n!}{n^n}) $.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MSman » mer. août 12, 2015 2:39 pm

MSman a écrit :On dispose d'une boite à sucre au format 10x10x10. Combien de sucres au format 1x2x4 peut-on mettre dans cette boîte ? (sans les casser bien sûr)


Vous n'aimez pas mon exo ? :roll:
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par MSman » mer. août 12, 2015 3:13 pm

JustSayin' a écrit :MSman : Il faut juste diviser le cube en pavés de sorte à ce qu'on ait un minimum d'espaces vides non ?

SPOILER:
Genre on a un pavé de 10x10x8 dans lequel on peut mettre 10*5*2=100 sucres (qui sont "debout", de "dimension" 1x2x4), un pavé de 10x8x2 ou on va mettre10*2*2=40 sucres (les sucres sont "à plat" de "dimension" 1x4x2), un pavé de taille 8x2x2 ou on peut mettre 2*1*2 = 4 sucres (ici ils sont de "dimension" 4x1x2). Il reste enfin un pavé de 2x2x2 ou on ne peut pas mettre de sucres sans les casser.

On peut donc mettre en tout 144 sucres.

Vérification qu'on a pas fait de pavé en trop ou en moins : 10x10x8+10x8x2+8x2x2+2x2x2 = 1000 = 10 x 10 x 10.


SPOILER:
Juste en lisant l'avant dernier ligne je pense qu'il y a un bug (bon il suffit de remplacer le 40 par 20). On a grossièrement un cube de volume 1000 et des sucres de volume 8. Donc on peut placer au maximum $ 125= \dfrac{1000}{8} $ sucres (si c'est optimal).
Donc là tu viens de trouver une configuration où on peut mettre 124 sucres. Mais il faut maintenant prouver qu'il n'existe aucune configuration où on peut en mettre 125.
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