Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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Siméon
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Siméon » mer. août 17, 2016 12:15 pm

Syl20 a écrit :Si quelqu'un trouve la foi (et le temps) de faire de même pour les 200 dernières pages, qu'il soit grandement remercié :)


Je viens de créer un projet sur GitBook pour recenser les énoncés : https://www.gitbook.com/book/simeon/exercices-pre-mpsi/
On peut lire directement la dernière version en ligne ou télécharger un fichier PDF/ePub/Mobi.

L'intérêt principal de la plateforme est de pouvoir partager le code source pour collaborer. Pour que je vous ajoute aux contributeurs, donnez-moi par MP votre nom d'utilisateur GitBook (c'est gratuit) ou une adresse e-mail.

Il n'y a pour l'instant que 25 énoncés, non relus et non classés. La première étape consiste à les extraire du forum (copier-coller puis ajout des balises LaTeX).

Zetary
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Zetary » mer. août 17, 2016 12:59 pm

Un petit exo sur les fonctions périodiques :

Soit \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) périodique non constante (une période de f est par convention strictement positive).

On appelle "plus petite période de f", si elle existe, une période qui est inférieure à toute autre période de f.

1) Si on suppose que f admet une plus petite période T montrer que les périodes de f sont exactement les nT pour n entier non nul

2) Exhiber une fonction admettant pour ensemble de périodes \( \mathbb{Q}^*_+ \) (et donc pas de plus petite période)

3) Si f n'admet pas de plus petite période, peut-elle être continue ?

4) En étudiant \( f : x \mapsto sin(2\pi p/q) \) si \( x = p/q + n\sqrt 2, \: n,p,q \in \mathbb{Z},\: q\neq 0 \: \) et \( x \mapsto 0 \) sinon, justifier que f est bien définie, non constante et admet deux périodes incommensurables (dont le quotient est irrationnel)
Modifié en dernier par Zetary le ven. août 19, 2016 3:05 pm, modifié 1 fois.

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ladmzjkf
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par ladmzjkf » mer. août 17, 2016 1:56 pm

Zetary a écrit :Soit \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) périodique non constante (une période de f est par convention strictement positive) :
1) Si on suppose que \( f \) admet une plus petite période \( T \) montrer que les périodes de f sont exactement les nT pour n entier non nul

2) Exhiber une fonction admettant pour ensemble de périodes \( \mathbb{Q}^*_+ \) (et donc pas de plus petite période)

3) Si f n'admet pas de plus petite période, peut-elle être continue ?

4) En étudiant \( f : x \mapsto sin(2\pi p/q) \) si x s'écrit \( p/q + n\sqrt 2, \: n,p,q \in \mathbb{Z},\: q\neq 0 \) et \( x \mapsto 0 \) sinon, justifier que f est bien définie, non constante et admet deux périodes incommensurables (dont le quotient est irrationnel)


SPOILER:
1)Supposons qu'il pexiste une période \( T_f \) telle que le reste de la division euclidienne de \( T_f \) sur \( T \) est différent de \( 0 \), on sait que la différence de deux périodes est une période de \( f \), donc \( T-T_f=r<T \) (contra)
2)\( f(x)=c \) pour \( x\in\mathbb{Q} \) et \( f(x)=0 \) pour \( x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q} \), on sait que que \( x+q \) est rationnel si \( x \) l'est, irra si \( x \) ne l'est pas.
3)Pas Forcément(comme l'exemple plus haut), si elle est constante et n'admet pas de plus petite période alors elle doit être constante.
4) On a \( f(1/2)\neq 0 \), donc \( f \) n'est pas cte.
On a aussi \( f(p/q+n\sqrt{2}+1)=sin(2\pi p/q+2\pi)=f(p/q+n\sqrt{2}) \) et \( f(p/q+2n\sqrt{2}+\sqrt{2})=f(p/q+2n\sqrt{2}). \)
D'autre part, si \( x= p/q +n\sqrt{2}+c \), avec \( c \) ne s'écrivant pas de la manière \( p'/q'+2m\sqrt{2} \), on a \( x+1 et x+\sqrt{2} \) qui ne s'écrivent pas de cette manière sinon \( c= p''/q''+2m'\sqrt{2}-p/q +n\sqrt{2} \), et on aurait une contra.
Donc f admet pour période 1 et \( \sqrt{2} \)

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Syl20
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Syl20 » mer. août 17, 2016 2:11 pm

kakille a écrit :Je m'y mets de ce pas. :lol:

Plus sérieusement, pour qu'un tel document soit pertinent pour le plus grand nombre, il faudrait :

- vérifier chaque énoncé.
- les rendre compatibles avec le programme en vigueur, quitte à introduire les définitions nouvelles localement.
- les organiser.

Autant dire un travail de titan.

Une première étape pourrait consister à seulement repérer les énoncés corrects en l'état et qui sont compatibles avec le programme actuel. Viendraient ensuite s'ajouter les énoncés expurgés de leurs coquilles et les énoncés d'approfondissements.

Il faudra aussi s'occuper du fil ouvert par les lycéens en 2015.

Ensuite, le fil des sup puis des spé...

A l'arrivée, ce recueil ne serait pas tant un truc pour se préparer à la sup (cf. les docs de LLG ou de Ginette vraiment destinés à ça), qu'une somme un peu anarchique d'énoncés aux vertus très inégales.

Si les exos sont résolus, ils sont corrects et faisables normalement ;)
J'avais commencé, mais mes compétences en Latex sont trop limitées :lol:
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kakille
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par kakille » mer. août 17, 2016 2:19 pm

Tu as pas mal d'énoncés dont la version de base est incorrecte et/ou est HP. Quelqu'un le fait remarquer quelques messages plus loin. La ou les modifications ne sont pas apporté(e)s dans l'énoncé original. Il faut donc corriger. Ca rallonge considérablement un travail déjà bien fastidieux.

Si les exos sont résolus, ils sont corrects et faisables normalement ;)


Je ne suis pas sûr d'être d'accord avec cette implication.
"[...] On dira que le nombre \( L \) est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné \( \varepsilon \), si petit soit-il, il existe un nombre entier \( n \) tel que l'ont ait \( |L−S_n|<\varepsilon \)."

Alain Badiou, Eloge des mathématiques.

Zetary
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Zetary » mer. août 17, 2016 2:45 pm

ladmzjkf a écrit :
Zetary a écrit :Soit \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) périodique non constante (une période de f est par convention strictement positive) :
1) Si on suppose que \( f \) admet une plus petite période \( T \) montrer que les périodes de f sont exactement les nT pour n entier non nul

2) Exhiber une fonction admettant pour ensemble de périodes \( \mathbb{Q}^*_+ \) (et donc pas de plus petite période)

3) Si f n'admet pas de plus petite période, peut-elle être continue ?

4) En étudiant \( f : x \mapsto sin(2\pi p/q) \) si x s'écrit \( p/q + n\sqrt 2, \: n,p,q \in \mathbb{Z},\: q\neq 0 \) et \( x \mapsto 0 \) sinon, justifier que f est bien définie, non constante et admet deux périodes incommensurables (dont le quotient est irrationnel)


SPOILER:
1)Supposons qu'il pexiste une période \( T_f \) telle que le reste de la division euclidienne de \( T_f \) sur \( T \) est différent de \( 0 \), on sait que la différence de deux périodes est une période de \( f \), donc \( T-T_f=r<T \) (contra)
2)\( f(x)=c \) pour \( x\in\mathbb{Q} \) et \( f(x)=0 \) pour \( x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q} \), on sait que que \( x+q \) est rationnel si \( x \) l'est, irra si \( x \) ne l'est pas.
3)Pas Forcément(comme l'exemple plus haut), si elle est constante et n'admet pas de plus petite période alors elle doit être constante.
4) On a \( f(1/2)\neq 0 \), donc \( f \) n'est pas cte.
On a aussi \( f(p/q+n\sqrt{2}+1)=sin(2\pi p/q+2\pi)=f(p/q+n\sqrt{2}) \) et \( f(p/q+2n\sqrt{2}+\sqrt{2})=f(p/q+2n\sqrt{2}). \)
D'autre part, si \( x= p/q +n\sqrt{2}+c \), avec \( c \) ne s'écrivant pas de la manière \( p'/q'+2m\sqrt{2} \), on a \( x+1 et x+\sqrt{2} \) qui ne s'écrivent pas de cette manière sinon \( c= p''/q''+2m'\sqrt{2}-p/q +n\sqrt{2} \), et on aurait une contra.
Donc f admet pour période 1 et \( \sqrt{2} \)


Je ne comprends pas ta réponse à la 3) : j'ai bien précisé que f n'était pas constante sinon on a une solution évidente, ce que je demande c'est si il existe des solutions non constantes et continues. Le reste est bien ^^ sauf que chez moi \( sin(\pi) \) ça fait quand même 0 =P

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par SH#T » jeu. août 18, 2016 2:33 am

darklol a écrit :Ok je comprends ta méthode 1 maintenant, et tes expressions intermédiaires qui font intervenir z m'ont l'air juste. Maintenant bah écoute y a pas trente six solutions: tu exprimes z en fonctions de \( a_1 \) et \( r \) avec la première égalité, et t'essayes de remplacer tout ça dans la seconde égalité (t'inquiètes pas il y aura un peu de magie).

J'abandonne :(
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par SH#T » jeu. août 18, 2016 2:55 am

Zetary a écrit :Je ne comprends pas ta réponse à la 3) : j'ai bien précisé que f n'était pas constante sinon on a une solution évidente, ce que je demande c'est si il existe des solutions non constantes et continues.

SPOILER:
Il est parti faire dodo ...
ladmzjkf a écrit :On suppose qu'il existe \( a,b \) avec \( f(a)\neq f(b) \).
En vertu de la continuité de \( f \) en \( b \), on écrit \( \forall \epsilon>0,\exists \alpha>0, \forall x\in\mathbb{R}, \left | x-b \right |<\alpha\Rightarrow \left | f(x)-f(b) \right |<\epsilon . \)
Puisque f n'admet pas de plus petite période, il existe \( T<\alpha \), et donc il existe un \( n\in\mathbb{N} \) tq \( a+nT \in ]b-\alpha,b+\alpha[ \) (autrement \( (n+1)T-nT\geqslant 2\alpha \) )
Et donc \( \left | f(a+nT)-f(b) \right |<\epsilon \), et comme epsilon est arbitraire alors il existe \( n'T' \) tq \( f(a)=f(a+n'T')=f(b) \) (contra).
Donc f=f(0)


Le reste est bien ^^ sauf que chez moi \( sin(\pi) \) ça fait quand même 0 =P

Hahaha SH#T happens
SPOILER:
f(1/4)=1
2016-2017: Sh#tty MPSI

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par darklol » jeu. août 18, 2016 10:16 am

SH#T a écrit :
darklol a écrit :Ok je comprends ta méthode 1 maintenant, et tes expressions intermédiaires qui font intervenir z m'ont l'air juste. Maintenant bah écoute y a pas trente six solutions: tu exprimes z en fonctions de \( a_1 \) et \( r \) avec la première égalité, et t'essayes de remplacer tout ça dans la seconde égalité (t'inquiètes pas il y aura un peu de magie).

J'abandonne :(


SPOILER:
\( r^2 = \frac{12}{n^2 (n-1)^2} [(n-1)a_1^2 -2n a_2] \) et on trouve en bonus une condition sur l'existence d'un tel \( r \)
ENS Lyon
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Zetary
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Zetary » jeu. août 18, 2016 10:51 am

SH#T a écrit :
Zetary a écrit :Je ne comprends pas ta réponse à la 3) : j'ai bien précisé que f n'était pas constante sinon on a une solution évidente, ce que je demande c'est si il existe des solutions non constantes et continues.

SPOILER:
Il est parti faire dodo ...
ladmzjkf a écrit :On suppose qu'il existe \( a,b \) avec \( f(a)\neq f(b) \).
En vertu de la continuité de \( f \) en \( b \), on écrit \( \forall \epsilon>0,\exists \alpha>0, \forall x\in\mathbb{R}, \left | x-b \right |<\alpha\Rightarrow \left | f(x)-f(b) \right |<\epsilon . \)
Puisque f n'admet pas de plus petite période, il existe \( T<\alpha \), et donc il existe un \( n\in\mathbb{N} \) tq \( a+nT \in ]b-\alpha,b+\alpha[ \) (autrement \( (n+1)T-nT\geqslant 2\alpha \) )
Et donc \( \left | f(a+nT)-f(b) \right |<\epsilon \), et comme epsilon est arbitraire alors il existe \( n'T' \) tq \( f(a)=f(a+n'T')=f(b) \) (contra).
Donc f=f(0)



Oui c'est bien mais il reste un détail : j'ai dit que f n'admet pas de plus petite période, mais a priori ça ne veut pas dire qu'elle a des périodes arbitrairement proches de 0 (son ensemble de périodes pourrait être \( ]1;+\infty]\cap \mathbb{Q} \)). En fait cette implication est vraie donc ta preuve fonctionne bien, mais il faut le montrer.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par ladmzjkf » jeu. août 18, 2016 5:53 pm

Zetary a écrit :Oui c'est bien mais il reste un détail : j'ai dit que f n'admet pas de plus petite période, mais a priori ça ne veut pas dire qu'elle a des périodes arbitrairement proches de 0 (son ensemble de périodes pourrait être \( ]1;+\infty]\cap \mathbb{Q} \)). En fait cette implication est vraie donc ta preuve fonctionne bien, mais il faut le montrer.


SPOILER:
Supposons que l'ensemble des périodes est \( ]p,+\infty[ \), on sait qu'il existe deux périodes (Sans perte de généralité: T_2<T_1 ) tq \( T_1,T_2 \in ]p,p+\alpha[ \), leur différence est aussi une période et\( 0<T_1-T_2<\alpha \), et comme alpha est arbitraire, p ne peut être supérieur à 0 (ou on prend alpha égale à p par exemple )

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Jio15 » ven. août 19, 2016 7:05 am

Zetary a écrit :j'ai dit que f n'admet pas de plus petite période, mais a priori ça ne veut pas dire qu'elle a des périodes arbitrairement proches de 0


Bah... C'est exactement ce que ça veut dire, non ? En posant m l'inf des périodes et T_n une suite de périodes qui décroît vers m, on remarque que (T_n-m) est une suite de périodes qui tend vers 0, sans jamais être nulle (sinon m serait une plus petite période)... Donc m=0 et il existe des périodes arbitrairement faibles.
Je ne vois pas vraiment le problème... ?
Jésus, c'est du fromage. :twisted:

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par kakille » ven. août 19, 2016 9:39 am

Nouvelle illustration (j'en ai long comme le bras) du fait que proposer des exos à des lycéens qui font intervenir des choses HP pas triviales, c'est pas forcément une bonne idée.

"Mais s'ils sont motivés, je vois pas le problème" :roll:

Jouer avec les sommes, c'est une chose. Jouer subtilement avec l'analyse quand on dispose à peine de la définition de limite, c'en est une autre.
"[...] On dira que le nombre \( L \) est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné \( \varepsilon \), si petit soit-il, il existe un nombre entier \( n \) tel que l'ont ait \( |L−S_n|<\varepsilon \)."

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par lsjduejd » ven. août 19, 2016 12:00 pm

Zetary a écrit :Oui c'est bien mais il reste un détail : j'ai dit que f n'admet pas de plus petite période, mais a priori ça ne veut pas dire qu'elle a des périodes arbitrairement proches de 0 (son ensemble de périodes pourrait être \( ]1;+\infty]\cap \mathbb{Q} \)). En fait cette implication est vraie donc ta preuve fonctionne bien, mais il faut le montrer.

Ceci est parfaitement vrai.

Jio15 a écrit :
Zetary a écrit :j'ai dit que f n'admet pas de plus petite période, mais a priori ça ne veut pas dire qu'elle a des périodes arbitrairement proches de 0


Bah... C'est exactement ce que ça veut dire, non ?

Non. Ca veut dire que pour tout période de f, il existe une autre période strictement plus petite.
Les deux propositions sont équivalentes, mais deux propositions équivalentes ne sont en général pas égales stricto sensu.

Et donc en réponse à kakille : tu ferais mieux d'arrêter les polémiques et critiques infondées et stériles et d'alimenter ce topic (et mieux, le forum) en posts pertinents.
8)

kakille
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par kakille » ven. août 19, 2016 1:53 pm

Ma critique est argumentée (j'explique depuis longtemps d'où viennent mes réticences) : peux-tu en dire autant de la tienne à mon égard ?

Elle est aussi fondée sur des bases solides (une expérience assez longue dans l'enseignement des maths après un cursus approfondi) : peux-tu en dire autant ?

Sinon, tu peux regarder les posts que je mets depuis 2012 sous les pseudos Magnéthorax et kakille. Tout n'est pas transcendant, mais il y en a une bonne partie que je me permets de juger pertinente vu, notamment, les retours de mes interlocuteurs : peut-on en dire autant de tes contributions ?

Quand tu en auras fait le quart, on en reparle. :lol:
Modifié en dernier par kakille le ven. août 19, 2016 2:10 pm, modifié 1 fois.
"[...] On dira que le nombre \( L \) est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné \( \varepsilon \), si petit soit-il, il existe un nombre entier \( n \) tel que l'ont ait \( |L−S_n|<\varepsilon \)."

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