J'en ai une démonstration courtissime qui utilise le fait que $ (Z/pZ)^* $ est un groupe :ladmzjkf a écrit :Soient $ p $ un nombre premier $ \geqslant 3 $, $ (a,b)\in(\mathbb{N}^*)^2 $ tels que $ \displaystyle{\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k}=\frac{a}{b}} $.
Montrer que $ p $ divise $ a $.
Exercices de MPSI
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
SPOILER:
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Très joliladmzjkf a écrit :Soient $ p $ un nombre premier $ \geqslant 3 $, $ (a,b)\in(\mathbb{N}^*)^2 $ tels que $ \displaystyle{\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k}=\frac{a}{b}} $.
Montrer que $ p $ divise $ a $.
SPOILER:
Dernière modification par gchacha le 28 août 2016 18:47, modifié 3 fois.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Je peux avoir tort:
SPOILER:
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Ça marche très bien ! (on aladmzjkf a écrit :Je peux avoir tort:
SPOILER:
SPOILER:
En revanche je n'ai pas compris le calcul de gchacha pour le numérateur (?)
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
J'essaye de trouver une formule plus manipulable et qui prend en compte les $ p-2 $ termes de chaque $ k $. Mais j'ai l'impression que c'est infructueux.Jio15 a écrit : En revanche je n'ai pas compris le calcul de gchacha pour le numérateur (?)
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Un exo d'arithmétique que j'ai trouvé assez hardcore :
Soient $ a,b\in \mathbb{N}-\{0;1\} $ et $ n \in \mathbb{N}^* $.
Montrer l'implication : $ a^n+b^n $ premier $ \Rightarrow \exists k \in \mathbb{N}, n=2^k $.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Une fois de plus, je dois admettre que je ne comprends pas bien ce que tu attends d'un term face à un tel exercice, qui est soit infaisable soit trivial selon qu'on connaisse ou non l'existence de la formule $ a^n-b^n $. Là où l'exercice peut être formateur pour des term, c'est probablement sur le fait de s'exercer proprement au raisonnement par l'absurde et d'apprendre à formuler la négation de propositions comme "n est une puissance de 2".donnerwetter a écrit :Un exo d'arithmétique que j'ai trouvé assez hardcore :Soient $ a,b\in \mathbb{N}-\{0;1\} $ et $ n \in \mathbb{N}^* $.
Montrer l'implication : $ a^n+b^n $ premier $ \Rightarrow \exists k \in \mathbb{N}, n=2^k $.
SPOILER:
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
gchacha a écrit :J'essaye de trouver une formule plus manipulable et qui prend en compte les $ p-2 $ termes de chaque $ k $. Mais j'ai l'impression que c'est infructueux.Jio15 a écrit : En revanche je n'ai pas compris le calcul de gchacha pour le numérateur (?)
SPOILER:
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
D'ailleurs je crois que si on suppose $ p\ge 5 $ il y a un résultat plus général qui consiste à affirmer que $ p^2 $ divise $ a $. Mais je ne vois pas de méthodes élémentaires qui permettent d'y arriver.ladmzjkf a écrit :Soient $ p $ un nombre premier $ \geqslant 3 $, $ (a,b)\in(\mathbb{N}^*)^2 $ tels que $ \displaystyle{\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k}=\frac{a}{b}} $.
Montrer que $ p $ divise $ a $.