Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Krik » 30 avr. 2018 14:46

Je l'ai fait comme ceci :
SPOILER:
On montre que $ (e^{x_n}-e^{y_n}) $ converge vers 0 en écrivant$ (e^{x_n}-e^{y_n})^2=(e^{x_n}+e^{y_n})^2-4 e^{x_n +y_n} $.

Puis on fait la somme et la différence avec $ (e^{x_n}+e^{y_n}) $.
Ça ne me semble pas être une astuce de calcul terrible quand on connaît bien identités remarquables et propriétés de l'exponentielle.

Ça me semble un peu délicat en terminale mais je pense que c'est le genre de choses qu'il faut savoir faire en sup.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Errys » 30 avr. 2018 19:18

J'ai fait la même chose. Je me demandais juste si il y avait pas quelque chose de plus élégant et généralisable.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Yoz » 01 mai 2018 00:42

C'est faisable en utilisant le fait que "l'exponentiel varie plus vite (resp. plus lentement) que l'identité sur R+ (resp. sur R-)", ce qui donne une preuve qui pourrait marcher au-delà de l'exemple précis de la fonction exponentielle. Et c'est intuitif et "artisanal". Et long et dégueu et calculatoire :D.
La flemme de formaliser mais en bref :
On se ramène au cas a=0. Par l'absurde, on suppose que x_n ne converge pas vers 0 (en particulier, y_n ne converge pas non plus). On écrit la définition de la non-convergence vers 0 et quitte à interchanger x_n et y_n on suppose qu'il existe une sous-suite x_phi(n) de x_n qui reste toujours en-dessous de -epsilon. On écrit que x_n + y_n converge et on en déduit que y_phi(n) reste toujours au-dessus de +epsilon/2 pour n assez grand (ou epsilon(1-1/N) pour N arbitrairement grand).
Ensuite, [insérer ici des subtilités chiantes] et en utilisant par ex le fait que cosh reste au-dessus de 1, on arrive à montrer que e^xphi(n) + e^yphi(n) ne converge pas vers 2.

EDIT : Faire un dessin pour comprendre pourquoi e^yn ne peut pas "compenser exactement" ce qui manque à e^xn, ça aide.
Dernière modification par Yoz le 01 mai 2018 11:57, modifié 1 fois.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Errys » 01 mai 2018 00:53

Merci ! C'est intéressant tout ça, demain c'est férié, je vais en profiter pour formaliser ça. Ça m'aidera à comprendre les subtilités de ton raisonnement. Bonne soirée.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Zetary » 01 mai 2018 00:57

Si je ne me trompe pas, on peut remplacer exp par n'importe quelle fonction strictement convexe (c'est à dire de dérivée seconde strictement positive sur R), ce qui donne un énoncé plus général, mais la preuve est selon moi moins jolie...ça reste une question de goût

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Zetary » 01 mai 2018 01:14

Un petit exercice :

On fixe p et q deux entiers naturels non nuls, et pour tout n entier naturel on définit la fonction $$ f_n \colon x \mapsto \frac{x^n(p-qx)^n}{n!} $$

Etudier le signe et les variations de $ f_n $ sur $ [0;p/q] $. Montrer qu'il existe une suite réelle $ (M_n) $ telle que pour tout $ x \in [0;p/q] $, $ f_n(x) \leq M_n $ et $ \lim_{n\rightarrow +\infty} M_n = 0 $. En déduire la limite en $ +\infty $ de $$ I_n = \int_0^{p/q} f_n(x)\sin(x)dx $$
(on pourra supposer $ p/q\leq \pi $)
La suite $ (I_n) $ atteint-elle sa limite ?

(s'il y a des gens intéressés, il y a une suite, avec un joli résultat à la clef)

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Hibiscus » 01 mai 2018 02:22

C'est pas un peu (beaucoup) violent pour un "terminale pré-MPSI", ça ?
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par K-ter » 01 mai 2018 02:33

@Errys :
une methode assez générale et propre pour ce genre d'exos est de montrer que toute sous-suite de $(x_n)$ qui admet une limite (finie ou infinie) converge en fait vers a.

Ça peut te faire un bon exercice de montrer que cela implique que la suite converge vers a, en revenant à la définition. (je rappelle qu'une sous suite de $(x_n)_n $ est une suite de la forme $(x_{k_n }) _n$ avec $(k_n) _n$ suite strictement croissante d'entiers)

Par exemple ici, il est clair qu'aucune sous-suite ne tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ ; et si $(x_{k_n}) _n$ tend vers un réel $b > a$, on obtient une contradiction par :
$$0=e^b+e^{2a-b}-2e^a\\
=\int_0^{b-a} \exp'(a+t)-\exp'(a-t)dt>0$$
Le cas $b<a$ est similaire (on a l'opposé de l'intégrale)

On a juste utilisé la stricte croissance de $\exp'$ et le résultat se généralise donc très bien au cas de $f$ de dérivée seconde strictement positive (stricte convexité)

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par noro » 01 mai 2018 10:23

Errys a écrit :
29 avr. 2018 15:09
Bonjour, étant donné que nous n'avons plus que le bac à travailler, je propose de relancer ce topic !

Voici 2 problèmes :

- Soit $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ 2 fois dérivable avec $ f''(x)\ge 0 $ pour tout x de $ \mathbb{R} $. Montrer que $ f $ est au dessus de toutes ses tangentes et en dessous de toutes ses cordes (entre les deux extrémités de chaque corde).

- Soit $ (x_n) $ et $ (y_n) $ deux suites réelles. On a, pour un certain réel $ a $ : $ x_n + y_n \longrightarrow 2a $ et $ e^{x_n} + e^{y_n}\longrightarrow 2e^a $. Montrer que $ (x_n) $ et $ (y_n) $ convergent vers $ a $.
Je ne sais pas si montrer que f est en dessous de ses cordes est simple sans le th des accroissement finis.
Nothing happened.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par noro » 01 mai 2018 10:54

En fait si c'est faisable sans le théorème des accroissements finis:
SPOILER:
On veut montrer que pour tout $ a < b < c $, $ f(b) \leq (\frac{c-b}{c-a})f(a) + (\frac{b-a}{c-a})f(c) $;
c'est à dire $ 0 \leq (\frac{c-b}{c-a})(f(a)-f(b)) + (\frac{b-a}{c-a})(f(c)-f(b)) $; i.e. $ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq \frac{f(c)-f(b)}{c-b} $
or $ f(b)-f(a) = \int^b_a{f'(t)dt = (b-a)\int^1_0f'(a+(b-a)u)du} $ de même pour $ f(c)-f(b) $
donc on veut montrer que $ \int^1_0 {f'(a+(b-a)u)du} \leq \int^1_0{ f'(b+(c-b)u)du} $
or pour tout $ u $ compris entre 0 et 1, $ f'(a+(b-a)u) \leq f'(b+(c-b)u) $ par croissance de $ f' $.
d'où le résultat.
Dernière modification par noro le 01 mai 2018 12:18, modifié 1 fois.
Nothing happened.
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