Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Zetary
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Zetary » mer. juin 06, 2018 6:01 pm

Bonjour,

Soit \( f \) une fonction de classe \( \mathcal{C}^1 \) définie sur \( [0;\pi] \). Déterminer \( \lim_{n\to \infty} \int_0^\pi f(t)sin(nt)dt \).

Autrement plus difficile : ce résultat reste-t-il vrai pour \( f \) seulement continue ?

Errys
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Errys » mer. juin 06, 2018 6:21 pm

Pour une fonction juste continue, cela va me demander plus de réflexion :D
SPOILER:
On effectue une IPP en posant :
\( u(t) = f(t) \), \( v(t) = -\dfrac{1}{n}\cos(nt) \)
Avec \( u'(t) = f'(t) \), \( v'(t) = \sin(nt) \)

D'où :
\( \displaystyle\int_{0}^{\pi}f(t)\sin(nt)dt = [-\dfrac{1}{n}f(t)\cos(nt)] + \int_{0}^{\pi}f'(t)\cos(nt)\dfrac{1}{n}dt \)

Le terme de gauche tend clairement vers 0, montrons que celui de droite aussi :

Tout d'abord, f' est continue sur \( [0,\pi] \) donc \( f' \) est bornée. Il en est de même pour \( \cos(nt) \). Soit \( M \) un majorant de \( |f'(t)\cos(nt)| \). Il vient :
\( \displaystyle |\int_{0}^{\pi}f'(t)\cos(nt)\dfrac{1}{n}dt|\le \int_{0}^{\pi}|f'(t)\cos(nt)\dfrac{1}{n}|dt\le \int_{0}^{\pi} \dfrac{M}{n}dt \)
La dernière expression tendant vers 0, il vient par comparaison que la première tend aussi vers 0. D'où :
\( \lim\limits_{n\to+\infty} \int_{0}^{\pi}f(t)\sin(nt)dt=0 \)
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JeanN
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par JeanN » mer. juin 06, 2018 7:06 pm

Zetary a écrit :
mer. juin 06, 2018 6:01 pm
Bonjour,

Soit \( f \) une fonction de classe \( \mathcal{C}^1 \) définie sur \( [0;\pi] \). Déterminer \( \lim_{n\to \infty} \int_0^\pi f(t)sin(nt)dt \).

Autrement plus difficile : ce résultat reste-t-il vrai pour \( f \) seulement continue ?
L’ipp n’est pas au programme de terminale. Pourquoi ne pas mettre cet exercice dans le fil qui lui appartient : les exos mpsi ?
Vu qu’il semble impossible aux contributeurs de poster dans le bon fil, je change le nom du fil.
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matmeca_mcf1
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Re: Exercices de MPSI

Message par matmeca_mcf1 » mer. juin 06, 2018 7:54 pm

Même pour des taupins, j'ai des doutes sur la deuxième partie. Les taupins sont-ils familliers avec les arguments de densité pour les espaces fonctionnels? Cela va évidemment sembler évident à quiconque a suivi un cours d'analyse fonctionnelle (ce qui va être le cas dans le dpt maths d'une ENS). Mais les taupins vont ils avoir le réflexe "vrai pour un sous-ensemble de fonctions dense pour une certaine topologie donc cherchons à prouver que la proposition reste vraie sur l'adhérence de cet ensemble pour cette même topologie"?
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
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BijouRe
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Re: Exercices de MPSI

Message par BijouRe » mer. juin 06, 2018 8:24 pm

matmeca_mcf1 a écrit :
mer. juin 06, 2018 7:54 pm
Même pour des taupins, j'ai des doutes sur la deuxième partie. Les taupins sont-ils familliers avec les arguments de densité pour les espaces fonctionnels? Cela va évidemment sembler évident à quiconque a suivi un cours d'analyse fonctionnelle (ce qui va être le cas dans le dpt maths d'une ENS). Mais les taupins vont ils avoir le réflexe "vrai pour un sous-ensemble de fonctions dense pour une certaine topologie donc cherchons à prouver que la proposition reste vraie sur l'adhérence de cet ensemble pour cette même topologie"?
L'exo est un "classique" en MP*
Mais je vois mal comment le traiter sans avoir préalablement fait le cours de Sup sur les sommes de Riemann (qui introduit tous les outils nécessaire).
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Almar
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Re: Exercices de MPSI

Message par Almar » mer. juin 06, 2018 8:26 pm

C'est pas un réflexe mais c'est plus ou moins la méthode utilisée pour construire l'intégrale de Riemann. Il n'y a pas besoin de parler de densité, il suffit juste de parler d'approximations et de \( \epsilon \).
(Édit : j'ai été pris de vitesse...)
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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » mer. juin 06, 2018 9:28 pm

Voici un exo très jolie , que je trouve bien adapté a ce fil :

Sur les entiers naturels :

Trouver tous les entiers naturels \( n \) avec la propriété suivante :

pour tout entier impair \( ~~a~~ \) , si \( ~~~~a^{2} \leq n \) alors \( ~~~~a|n \) .
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Re: Exercices de MPSI

Message par Zrun » jeu. juin 07, 2018 7:48 am

BijouRe a écrit :
mer. juin 06, 2018 8:24 pm
L'exo est un "classique" en MP*
Mais je vois mal comment le traiter sans avoir préalablement fait le cours de Sup sur les sommes de Riemann (qui introduit tous les outils nécessaire).
Nous l’avons fait en MPSI cette année pour f seulement continue par morceaux. De mémoire , il s’agit d’utiliser une suite de fonctions en escalier qui converge uniformément vers f
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Re: Exercices de MPSI

Message par matmeca_mcf1 » jeu. juin 07, 2018 10:36 am

Almar a écrit :
mer. juin 06, 2018 8:26 pm
C'est pas un réflexe mais c'est plus ou moins la méthode utilisée pour construire l'intégrale de Riemann. Il n'y a pas besoin de parler de densité, il suffit juste de parler d'approximations et de \( \epsilon \).
BijouRe a écrit :
mer. juin 06, 2018 8:24 pm
L'exo est un "classique" en MP*
Mais je vois mal comment le traiter sans avoir préalablement fait le cours de Sup sur les sommes de Riemann (qui introduit tous les outils nécessaire).
Zrun a écrit :
jeu. juin 07, 2018 7:48 am
Nous l’avons fait en MPSI cette année pour f seulement continue par morceaux. De mémoire , il s’agit d’utiliser une suite de fonctions en escalier qui converge uniformément vers f
Donc, vous revenez à la définition de l'intégrale de Riemmann et prenez une suite de fonctions en escalier? La façon classique (pour un mathématicien) de le faire est d'utiliser la densité de \( \mathcal{C}^1([0,1]) \) dans \( \mathcal{C}([0,1]) \) (on va dire pour la norme de la convergence uniforme pour ne pas dépayser les taupins). Le théorème de Weierstrass sur la densité des polynômes dans \( \mathcal{C}([0,1]) \) pour la convergence uniforme est-il toujours au programme?
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Re: Exercices de MPSI

Message par Almar » jeu. juin 07, 2018 10:50 am

Il est au programme de deuxième année oui
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Re: Exercices de MPSI

Message par BijouRe » jeu. juin 07, 2018 11:04 am

Oui Weierstrass est toujours au programme. C'est une méthode beaucoup plus simple ^^
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noro
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Re: Exercices de MPSI

Message par noro » lun. juin 18, 2018 9:12 am

Voilà un exo mi-maths mi-info qui ne demande pratiquement aucune connaissance :
w est une mot (de longueur finie) sur l'alphabet \( \{a,b\} \)
On effectue l'opération suivante tant que c'est possible:
On remplace un facteur ab quelconque par bba.
Montrez que l'on ne peut pas effectuer cette opération une infinité de fois.
Modifié en dernier par noro le lun. juin 18, 2018 11:23 am, modifié 1 fois.
Nothing happened.
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siro
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Re: Exercices de MPSI

Message par siro » lun. juin 18, 2018 10:12 am

Faut préciser que w est fini. :mrgreen:
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

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noro
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Re: Exercices de MPSI

Message par noro » lun. juin 18, 2018 11:23 am

siro a écrit :
lun. juin 18, 2018 10:12 am
Faut préciser que w est fini. :mrgreen:
Merci :lol:
Nothing happened.
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Re: Exercices de MPSI

Message par Errys » lun. juin 18, 2018 12:07 pm

Au niveau du formalisme je ne sais pas ce que ca vaut, mais voici mon idée :
SPOILER:
Soit \( \Sigma \) l'alphabet \( \{a, b\} \)
On peut raisonner par récurrence sur le nombre de \( a \) dans le mot :

Soit pour tout entier \( n\ge 0 \), \( P(n):\forall w\in\Sigma^+, |w |_a=n\implies \text{ on peut effectuer un nombre fini d'opérations sur w} \)

\( P(0) \) est évident, on va aussi montrer P(1) pour faciliter l'hérédité :

Soit \( w\in\Sigma^+ \) tel que \( |w|_a=1 \). On peut montrer que l'on peut effectuer au plus une opération par \( b \) dans le mot \( w \) de départ.
En effet, si un b est à gauche de la lettre a, alors on pourra jamais l'utiliser dans une opération car lors d'une opération, on peut pas déplacer un a vers la gauche.
De plus, une fois qu'on effectue une opération avec un \( b \), les 2 b se retrouvent à gauche du a et on ne pourra plus jamais les utiliser. Donc on peut effectuer qu'un nombre fini d'opérations (car le nombre de b est aussi fini) d'où P(1).

Maintenant, soit \( n\in\mathbb{N}^* \) tel que P(n), montrons \( P(n+1) \).

Soit \( w\in\Sigma^+ \) tel que \( |w|_a=n+1 \).
Considérons le a le plus à gauche. D'après ce qu'on a vu en montrant P(1), les opérations que l'on effectue sur a n'ont pas d'influence sur les opérations qu'on effectue sur les autres a.
En effet, si on effectue une opération sur le a le plus à gauche, alors le b avec lequel on effectue l'opération est à gauche de tous les autres a donc il ne pouvait etre utilisé que par le premier a.

Ainsi, on peut effectuer d'abord toutes les opérations sur tous les a sauf le premier. On applique P(n) sur le sous-mot qui commence après le premier a, il y a un nombre fini d'opérations qui peuvent être effectué, donc le mot résultant des opérations est aussi fini.
Ainsi, on peut considérer le sous-mot qui va du début jusqu'au second a. En effet, le reste du mot va rester fixe vu qu'on ne peut plus effectuer d'opérations.

On applique donc P(1) sur ce sous-mot pour montrer P(n+1) ce qui conclut.
Bonne journée !
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