Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Errys
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Errys » jeu. mai 31, 2018 2:40 pm

Bonjour, merci pour les pistes, je vais essayer ça !

J'avais essayé d'explorer la piste de l'IPP, mais j'avais pas pensé à faire apparaître f'(t)/f'(t), j'avais à la place fait apparaître un x mais ça n'apportait rien. J'ai aussi essayé d'utiliser l'hypothese f''>= 1 pour montrer que la courbe oscille autour de 1 et donc que l'aire s'annule régulièrement, mais rien de bien formel ^^
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Errys
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Errys » jeu. mai 31, 2018 3:08 pm

Je crois avoir trouvé ! Je vais rédiger ça plus tard :D
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oty20
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par oty20 » jeu. mai 31, 2018 4:57 pm

Errys a écrit :
mer. mai 30, 2018 11:10 pm
K-ter a écrit :
lun. mai 07, 2018 12:20 am
Un exercice d'analyse qui est selon moi instructif, avec seulement le programme de terminale, l'intégration par parties, et l'inégalité triangulaire intégrale (à savoir \( \left| \int f\right|\leq\int \left|f\right| \)).
Par ailleurs, une fonction est dite \( \mathcal{C} ^2 \) si elle est deux fois dérivable avec \( f'' \) continue.

Montrer qu'il existe une constante \( C>0 \) telle que pour toute fonction \( \mathcal{C} ^2 \) de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \) vérifiant \( f''\geq 1 \) on ait :
$$\forall a,b \in \mathbb{R}, \left|\int_a^b \sin(f(x)) dx\right| \leq C$$
Hey, ca fait quelques temps que je bloque sur cet exercice, je l'ai donné à pas mal de gens et personne n'y arrive non plus. Est-ce que tu aurais un indice ou autre pour cet exercice ? Il commence à me frustrer :p
je n'ai pas essayé de résoudre cet exo , mais au premier abord , cela fait pensé au lemme de van der Corput .
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par K-ter » jeu. mai 31, 2018 11:53 pm

@Errys, c'est exactement ce qui se produit , f croît suffisamment vite pour que les oscillations se compensent sous l'intégrale

@oty20, oui c'est à peu de choses près Van der Corput, présenté de manière à n'utiliser que des outils de terminale

Zetary
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Zetary » mer. juin 06, 2018 6:01 pm

Bonjour,

Soit \( f \) une fonction de classe \( \mathcal{C}^1 \) définie sur \( [0;\pi] \). Déterminer \( \lim_{n\to \infty} \int_0^\pi f(t)sin(nt)dt \).

Autrement plus difficile : ce résultat reste-t-il vrai pour \( f \) seulement continue ?

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Errys » mer. juin 06, 2018 6:21 pm

Pour une fonction juste continue, cela va me demander plus de réflexion :D
SPOILER:
On effectue une IPP en posant :
\( u(t) = f(t) \), \( v(t) = -\dfrac{1}{n}\cos(nt) \)
Avec \( u'(t) = f'(t) \), \( v'(t) = \sin(nt) \)

D'où :
\( \displaystyle\int_{0}^{\pi}f(t)\sin(nt)dt = [-\dfrac{1}{n}f(t)\cos(nt)] + \int_{0}^{\pi}f'(t)\cos(nt)\dfrac{1}{n}dt \)

Le terme de gauche tend clairement vers 0, montrons que celui de droite aussi :

Tout d'abord, f' est continue sur \( [0,\pi] \) donc \( f' \) est bornée. Il en est de même pour \( \cos(nt) \). Soit \( M \) un majorant de \( |f'(t)\cos(nt)| \). Il vient :
\( \displaystyle |\int_{0}^{\pi}f'(t)\cos(nt)\dfrac{1}{n}dt|\le \int_{0}^{\pi}|f'(t)\cos(nt)\dfrac{1}{n}|dt\le \int_{0}^{\pi} \dfrac{M}{n}dt \)
La dernière expression tendant vers 0, il vient par comparaison que la première tend aussi vers 0. D'où :
\( \lim\limits_{n\to+\infty} \int_{0}^{\pi}f(t)\sin(nt)dt=0 \)
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par JeanN » mer. juin 06, 2018 7:06 pm

Zetary a écrit :
mer. juin 06, 2018 6:01 pm
Bonjour,

Soit \( f \) une fonction de classe \( \mathcal{C}^1 \) définie sur \( [0;\pi] \). Déterminer \( \lim_{n\to \infty} \int_0^\pi f(t)sin(nt)dt \).

Autrement plus difficile : ce résultat reste-t-il vrai pour \( f \) seulement continue ?
L’ipp n’est pas au programme de terminale. Pourquoi ne pas mettre cet exercice dans le fil qui lui appartient : les exos mpsi ?
Vu qu’il semble impossible aux contributeurs de poster dans le bon fil, je change le nom du fil.
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Re: Exercices de MPSI

Message par matmeca_mcf1 » mer. juin 06, 2018 7:54 pm

Même pour des taupins, j'ai des doutes sur la deuxième partie. Les taupins sont-ils familliers avec les arguments de densité pour les espaces fonctionnels? Cela va évidemment sembler évident à quiconque a suivi un cours d'analyse fonctionnelle (ce qui va être le cas dans le dpt maths d'une ENS). Mais les taupins vont ils avoir le réflexe "vrai pour un sous-ensemble de fonctions dense pour une certaine topologie donc cherchons à prouver que la proposition reste vraie sur l'adhérence de cet ensemble pour cette même topologie"?
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
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BijouRe
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Re: Exercices de MPSI

Message par BijouRe » mer. juin 06, 2018 8:24 pm

matmeca_mcf1 a écrit :
mer. juin 06, 2018 7:54 pm
Même pour des taupins, j'ai des doutes sur la deuxième partie. Les taupins sont-ils familliers avec les arguments de densité pour les espaces fonctionnels? Cela va évidemment sembler évident à quiconque a suivi un cours d'analyse fonctionnelle (ce qui va être le cas dans le dpt maths d'une ENS). Mais les taupins vont ils avoir le réflexe "vrai pour un sous-ensemble de fonctions dense pour une certaine topologie donc cherchons à prouver que la proposition reste vraie sur l'adhérence de cet ensemble pour cette même topologie"?
L'exo est un "classique" en MP*
Mais je vois mal comment le traiter sans avoir préalablement fait le cours de Sup sur les sommes de Riemann (qui introduit tous les outils nécessaire).
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Re: Exercices de MPSI

Message par Almar » mer. juin 06, 2018 8:26 pm

C'est pas un réflexe mais c'est plus ou moins la méthode utilisée pour construire l'intégrale de Riemann. Il n'y a pas besoin de parler de densité, il suffit juste de parler d'approximations et de \( \epsilon \).
(Édit : j'ai été pris de vitesse...)
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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » mer. juin 06, 2018 9:28 pm

Voici un exo très jolie , que je trouve bien adapté a ce fil :

Sur les entiers naturels :

Trouver tous les entiers naturels \( n \) avec la propriété suivante :

pour tout entier impair \( ~~a~~ \) , si \( ~~~~a^{2} \leq n \) alors \( ~~~~a|n \) .
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Re: Exercices de MPSI

Message par Zrun » jeu. juin 07, 2018 7:48 am

BijouRe a écrit :
mer. juin 06, 2018 8:24 pm
L'exo est un "classique" en MP*
Mais je vois mal comment le traiter sans avoir préalablement fait le cours de Sup sur les sommes de Riemann (qui introduit tous les outils nécessaire).
Nous l’avons fait en MPSI cette année pour f seulement continue par morceaux. De mémoire , il s’agit d’utiliser une suite de fonctions en escalier qui converge uniformément vers f

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Re: Exercices de MPSI

Message par matmeca_mcf1 » jeu. juin 07, 2018 10:36 am

Almar a écrit :
mer. juin 06, 2018 8:26 pm
C'est pas un réflexe mais c'est plus ou moins la méthode utilisée pour construire l'intégrale de Riemann. Il n'y a pas besoin de parler de densité, il suffit juste de parler d'approximations et de \( \epsilon \).
BijouRe a écrit :
mer. juin 06, 2018 8:24 pm
L'exo est un "classique" en MP*
Mais je vois mal comment le traiter sans avoir préalablement fait le cours de Sup sur les sommes de Riemann (qui introduit tous les outils nécessaire).
Zrun a écrit :
jeu. juin 07, 2018 7:48 am
Nous l’avons fait en MPSI cette année pour f seulement continue par morceaux. De mémoire , il s’agit d’utiliser une suite de fonctions en escalier qui converge uniformément vers f
Donc, vous revenez à la définition de l'intégrale de Riemmann et prenez une suite de fonctions en escalier? La façon classique (pour un mathématicien) de le faire est d'utiliser la densité de \( \mathcal{C}^1([0,1]) \) dans \( \mathcal{C}([0,1]) \) (on va dire pour la norme de la convergence uniforme pour ne pas dépayser les taupins). Le théorème de Weierstrass sur la densité des polynômes dans \( \mathcal{C}([0,1]) \) pour la convergence uniforme est-il toujours au programme?
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Re: Exercices de MPSI

Message par Almar » jeu. juin 07, 2018 10:50 am

Il est au programme de deuxième année oui
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Re: Exercices de MPSI

Message par BijouRe » jeu. juin 07, 2018 11:04 am

Oui Weierstrass est toujours au programme. C'est une méthode beaucoup plus simple ^^
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