Exercices de MPSI

[certus]

@gchacha une fois prouvé l'identité que tu donnes , comment on s'en sert?
Merci

[gchacha]

@gchacha une fois prouvé l'identité que tu donnes , comment on s'en sert?
Merci

Essaye de montrer que :

SPOILER:

$ \forall t \in [a,b], \ \mid f(t) \mid \le \frac{1}{b-a} \int \limits_{a}^{b} \mid f(x) \mid \mathrm{d}x + \int \limits_{a}^{b} \mid f'(x) \mid \mathrm{d}x $

[oty20]

Soit k>1, avec $ k=q_1^{\alpha_1}\times... \times q_j^{\alpha_j}, \sum \limits_{i=1}^j \dfrac{1}{q_i}<1 $, les $q_i$ premiers distincts et $\alpha_i\geq 1$.

cela fait un moment que je fixe cet énoncé, je n'arrive pas à saisir pourquoi l’hypothèse $ \sum \limits_{i=1}^j \dfrac{1}{q_i}<1 $ fait que cela marche , déjà le théorème de la progression arithmétique (de mémoire ) donne de forte chance de l'existence d'une infinité, alors dans ce cas l’hypothèse ne serait qu'un accessoire pour une éventuelle construction, parce que concrètement cette hypothèse ne dit rien à part qu'on n'en prend pas beaucoup ou on prend des nombres premiers assez grands.

[BobbyJoe]

Il existe une preuve rapide de ce résultat mais qui repose sur un théorème taubérien (modéremment difficile à démontrer dans sa forme non quantitative): le théorème de Wiener-Ikehara (qui permet également de démontrer le théorème des nombres premiers).
Les détails sont donnés dans le fabuleux livre de G. Tenenbaum : Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres.
Pour un preuve plus "self-contained" du théorème des nombres premiers, on peut aussi se référer à l'excellent livre de D.J Newman : Analytic Number Theory, dans le lequel figure la preuve la plus rapide du théorème des nombres premiers (dont une simplification majeure a été apportée quelques années plus tard par le sémillant Don Zagier)... Mais attention, sans un petit bagage en analyse complexe, ces preuves (bien que compréhensibles) restent quasi "inacessibles" (en gros, pour un étudiant de classes prépas ).

[matmeca_mcf1]

BobbyJoe, vous faites de la théorie des nombres? Y a t-il un moyen de démontrer le théorème de Dirichlet (juste l'infinité pas l'équivalent) sur les progressions arithmétiques avec des fonctions arithmétiques et des convolutions (au sens \sum_{d\mid n})?

[BobbyJoe]

Non, je ne fais pas de théorie des nombres (mais j'ai lu et je continues à lire sur le sujet car je trouve cela intéressant! ^^)
Oui, pour démontrer le théorème de Dirichlet (dans sa version non quantitative), il existe des preuves purement par l'analyse réelle (mis à part des considérations sur des caractères). On peut se référer à un sujet de concours des ENS (ULM 94-95? je ne sais plus trop...) pour une pratique active, sinon le livre de Balazard traite très bien ça (et explique très bien le mérite des preuves par l'analyse réelle dont les initiateurs sont Erdos et Seldberg pour leur preuves bien connue du théorème des nombres premiers basée sur une identité de convolution et de l'analyse réelle).

[oty20]

Mais à quoi sert l’hypothèse sur la somme ? ce n'est vraiment pas intuitif.

[oty20]

@Oty : tu vas intégrer quel école l'année prochaine ?

Réponse en mp pour éviter le hors sujet...

qu'est ce qui vous garantis que professeur @jeanN serait intéressé par le sujet ?

Après le poste de professeur @bobbyjoe qui a fait le lien entre l'analyse et théorie des nombres, cette hypothèse n'apparaît pas dans la mesure de la densité de cet ensemble ?

[BobbyJoe]

Cette hypothèse ne sert à rien pour démontrer le théorème général (mais peut-être qu'il existe une preuve vraiment élémentaire avec mais je ne crois pas...)

[BobbyJoe]

Cette condition est superflue (dans le cas général)... Mais oui, je te crois qu'il existe une preuve "facile" avec cette condition artificielle!