Exercices de MPSI

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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » 05 août 2018 02:05

Propriété de l'ensemble R :

Soit $ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $ et soit $ c >0 $, montrer qu'il existe $ x,y\in \mathbb{R},~~x\neq y $ tel que : $ |f(x)-f(y)| < c $.
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Re: Exercices de MPSI

Message par Krik » 05 août 2018 12:41

Propriété de l'ensemble R :
SPOILER:
Preuve qui utilise le programme de MP (dénombrabilité) :

Raisonnons par l'absurde : on suppose que $ \forall x \neq y, ~ |f(x)-f(y)| \geq c $.
Notons $ X^+ = \{ x \in \mathbb{R}~:~
f(x) \geq 0 \}
$ et $ X^- = \{ x \in \mathbb{R}~:~ f(x) < 0 \}
$. Ces deux ensembles partitionnent $ \mathbb{R} $, donc l'un des deux est infini non dénombrable. Quitte à prendre $ -f $ et à changer un éventuel élément d'image nulle d'ensemble, on suppose que c'est $ X^+ $.


On construit alors par récurrence une suite $ (x_n) $ comme ceci :
On suppose $ x_0,~x_1,~...,~x_n $ construits (pour construire $ x_0 $ on ne suppose donc rien...).
Soit $ \alpha = \inf f(X^+ \backslash \{ x_0,~..., ~x_n \}) $.
Montrons que cette borne inférieure est atteinte. Il existe une suite $ (z_k)=(f(y_k)) $ de $ f(X^+ \backslash \{ x_0,~..., ~x_n \}) $ qui tend vers $ \alpha $. Si cette suite n'est pas stationnaire, on peut trouver un rang $ K $ tel que $ y_{K+1} \neq y_K $ et $ |f(y_{K+1}) - f(y_K)| \leq \frac{c}{2} $, ce qui est impossible par hypothèse. La suite est donc stationnaire égale à $ \alpha $, ce qui montre que la borne inférieure est atteinte. On pose alors $ x_{n+1} $ tel que $ f(x_{n+1})=\alpha $.
La suite est construite et vérifie clairement : $ (f(x_n)) $ strictement croissante et diverge vers l'infini (car $ f(x_{n+1}) \geq c + f(x_n) $) .


Par non dénombrabilité de $ X^+ $, il existe $ t \in X^+ \backslash \{ x_n, ~ n \in \mathbb{N} \} $. On peut alors encadrer $ f(t) $ entre deux termes (strictement par injectivité de $ f $, qui est une conséquence directe de l'hypothèse) : $ f(x_n) < f(t) <f(x_{n+1}) $, et $ t $ aurait dû être choisi à la place de $ x_{n+1} $, ce qui est absurde et permet de conclure.
Je n'ai pas trouvé plus simple.
Dites-moi si j'ai fait une erreur ou si je n'ai pas été clair quelque part.

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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » 05 août 2018 14:35

très belle solution Krik , Bravo!

je doute qu'une construction soit possible pour cette version:
Soit $ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $ , montrer qu'il existe $ x,y\in \mathbb{R},~~x\neq y $ tel que : $ |f(x)-f(y)| < \frac{1}{|x|+|y|} $.
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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » 05 août 2018 15:47

@Krik , il semble que oui c'est possible en revenant au premier cas :

On considère $ h(t)=\arctan(t) $ strictement croissante sur R , soit u,v tels que : $ x=h(u) $ et $ y=h(v) $
$ |h(t)| < \frac{\pi}{2} $ donc $ \frac{\pi}{|h(u)|+|h(v)|} \geq 1 $

raisonnons par l'absurde , on pose $ g(t)=\pi f(h(t)) $ alors, pour tout u,v distincts $ |g(u)-g(v)| > 1 $ et on peut appliquer ta démonstration :mrgreen:.
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Re: Exercices de MPSI

Message par Krik » 05 août 2018 16:16

Si on veut éviter l'utilisation de $ Arctan $ qui peut paraître un peu artificielle (même si après coup on comprend que l'idée est d'envoyer $ \mathbb{R} $ tout entier sur un segment), on peut aussi "presque" se ramener au cas précédent de la façon suivante :

Comme avant on raisonne par l'absurde et on suppose que $ \forall x \neq y \in \mathbb{R}, ~ |f(x)-f(y)| \geq \frac{1}{|x|+|y|} $. C'est donc a fortiori vrai pour les $ x, y \in [-1, 1] $, pour lesquels $ |x|+|y| \leq 2 $ donc $ \frac{1}{|x|+|y|} \geq \frac{1}{2} $, d'où $ \forall x \neq y \in [-1,1] , ~ |f(x)-f(y)| \geq \frac{1}{2} $. Comme $ [-1,1] $ reste non dénombrable, la preuve précédente s'applique.

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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » 05 août 2018 18:10

oui oui, j'ai remarqué qu'il suffisait de se ramener à un segment après avoir posté le problème, j'avais espéré que cela se verrait pas trop parce que cela aurait détruit tout sens à mon problème modifié :roll:
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Re: Exercices de MPSI

Message par Siméon » 15 août 2018 21:22

Krik a écrit :
05 août 2018 12:41
Je n'ai pas trouvé plus simple.
Pour tout $n \in \Bbb Z$, on pose $A_n = \{x \in \Bbb R \mid cn \leqslant f(x) < c(n+1)\}$ de sorte que $\bigcup_{n \in \Bbb Z} A_n = \Bbb R$. Puisque $\Bbb R$ est indénombrable, il existe donc $n \in \Bbb Z$ tel que $A_n$ est infini (et même indénombrable). Or pour tous $x$ et $y$ dans $A_n$, on a $|f(x)-f(y)| < c$.

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Re: Exercices de MPSI

Message par Zrun » 16 août 2018 20:43

Voilà un exercice sympathique pour se dérouiller les doigts :
Soit S une série semi-convergente. On note $ u_n $le terme général de la série . Montrer qu’on peut réordonner les termes de la série telle que S converge vers n’importe quel réel .
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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » 16 août 2018 21:11

Siméon a écrit :
15 août 2018 21:22
Krik a écrit :
05 août 2018 12:41
Je n'ai pas trouvé plus simple.
Pour tout $n \in \Bbb Z$, on pose $A_n = \{x \in \Bbb R \mid cn \leqslant f(x) < c(n+1)\}$ de sorte que $\bigcup_{n \in \Bbb Z} A_n = \Bbb R$. Puisque $\Bbb R$ est indénombrable, il existe donc $n \in \Bbb Z$ tel que $A_n$ est infini (et même indénombrable). Or pour tous $x$ et $y$ dans $A_n$, on a $|f(x)-f(y)| < c$.
voici ma solution : on se débarrasse du $ c $, on pose $ g(x)=\frac{f(x)}{c} $ la condition revient à trouver :

$ x\neq y $ de sorte que : $ |g(x)-g(y)|< 1 $ , raisonnons par l'absurde et considérons :

$ h : \mathbb{R} \to \mathbb{Z} \\
~~ x \to E(g(x)) $

pour tout réels $ x,y $ tel que $ x\neq y $ on a:
$ |g(x)-g(y)| \geq 1 \Rightarrow g(x) \geq g(y) +1~~ ou~~ g(x) \leq g(y)-1
\\ \Rightarrow E(g(x)) \geq E(g(y)) +1 ~~ou~~ E(g(x)) \leq E(g(y))-1
\\ \Rightarrow h(x) > h(y) ~~ou~~ h(x) < h(y) $

Donc $ h $ est injective ce qui est totalement absurde.
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Re: Exercices de MPSI

Message par kakille » 27 août 2018 09:51

Hello,

soit $ f:]0,+\infty[\to \mathbb{R} $ et $ a\in]0,+\infty[ $. On suppose que $ f $ est dérivable en $ a $. Donner un développement asymptotique à 2 termes de $ r\mapsto f(ra) $ quand $ r\to1 $. Que dire si on suppose $ f $ deux fois dérivable en $ a $ ?
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

Alain Badiou, Eloge des mathématiques.

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