Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Simon Billouet
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Re: Exercices de MPSI

Message par Simon Billouet » lun. nov. 19, 2018 7:32 am

Une justification niveau MPSI d'où les $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $ sont absents, tout comme l'indicatrice d'Euler ?
Professeur de mathématiques et d'informatique en MPSI au lycée Vaugelas ( http://cpgevaugelas.free.fr )

Salimovich
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Salimovich » mer. mai 29, 2019 12:43 am

Salut, je rentre en MPSI l'année prochaine et j'ai rédigé quelques exos du début du sujet pour me familiariser avec Latex donc autant envoyer le message, si une âme charitable passe par là et peut vérifier que je ne dis pas trop de bêtises :D.
mehdinho a écrit :
jeu. juin 28, 2012 2:34 pm
Bon, un exercice un peu difficile pour un TS (je crois même sans trop m'avancer que pas mal de spé qui le rencontrent pour la première fois auront du mal à y arriver)
Soit f et g deux applications continues de I=[0,1] dans I. On suppose que fog=gof. Montrer que f et g admettent un point fixe commun.
SPOILER:
On considère $ h : x\in [0;1] \mapsto f(x)-x $.

$ h(0)=f(0)\geq 0 $ et $ h(1)=f(1)-1\leq 0 $ donc $ h $ s'annule sur $ [0;1] $. Par continuité et le TVI, $ \exists \alpha \in [0;1], f(\alpha)=\alpha $. Par symétrie de $ f $ et $ g $ les deux fonctions admettent un point fixe sur $ [0;1] $.

On considère un point fixe $ U_0 $ de $ f $ et on définit $ (U_n) $ par récurrence : $ \forall n \in \mathbb{N}, U_{n+1} = g(U_n) $. Pour tout $ n, U_n $ n'est autre que la fonction g composée n fois et appliquée à $ U_0 $. $ (U_n) $ est donc bornée par $ [0;1] $. De même si $ f(U_n)=U_n $ alors $ g(f(U_n))=U_{n+1} $ d'où en appliquant la commutativité de la composition de f par g $ f(g(U_n))=U_{n+1} $ i.e $ f(U_{n+1})=U_{n+1} $. Comme $ f(U_0)=U_0 $ on a bien tous les termes de la suite qui sont des points fixes de $ f $.

Soit n dans $ \mathbb{N} $, $ f(U_n)=U_n \Rightarrow f(U_n)-g(U_n)=U_n-g(U_n) \Rightarrow f(U_n)-g(U_n)=U_n-U_{n+1} $. Si $ U_n-U_{n+1} $ s'annule alors $ f(U_n)=g(U_n)=U_n $ et on a trouvé un point fixe commun. Sinon $ U_n-U_{n+1} $ est de signe constant donc $ (U_n) $ est monotone borné et converge donc vers un réel $ l \in [0;1] $. On a alors $ \forall n \in \mathbb{N}, f(U_n)=U_n \Rightarrow \lim\limits_{n \to +\infty} f(U_n) = \lim\limits_{n \to +\infty} U_n \Rightarrow f(l)=l $ et $ \forall n \in \mathbb{N}, U_{n+1} = g(U_n) \Rightarrow \lim\limits_{n \to +\infty} U_{n+1} = \lim\limits_{n \to +\infty} g(U_n) \Rightarrow g(l)=l $ donc $ l $ est point fixe commun de f et g.
compte supprimé a écrit :
jeu. juin 28, 2012 2:49 pm
Soit f une fonction continue sur [0;1] telle que f(0)=f(1). Montrer que l'équation $ f(x+\frac{1}{2})=f(x) $ admet une solution sur [0;$ \frac{1}{2} $]. Généralisation?
SPOILER:
Soit $ h : x \in [0;\frac{1}{2}] \mapsto f(x+\frac{1}{2})-f(x) $

Alors $ h(0)=f(\frac{1}{2})-f(0) $ et $ h(\frac{1}{2})=f(1)-f(\frac{1}{2})=-h(0) $

$ h $ continue change de signe sur $ [0;\frac{1}{2}] $ donc par le TVI $ \exists \alpha \in [0;\frac{1}{2}], f(\alpha + \frac{1}{2})=f(\alpha) $

Pour la généralisation une démo similaire donne que si f est une fonction continue sur $ [0,2a] $ avec $ a $ dans $ \mathbb{R}_+ $ alors l'équation $ f(x+a)=f(x) $ admet au moins une solution sur $ [0;a] $ (Il y a peut-être mieux).
compte supprimé a écrit :
jeu. juin 28, 2012 2:49 pm
- Soient a et b deux complexes. Montrer que $ |a-b|=|1-\overline{a}b| $ si et seulement si $ |a| = 1 $ ou $ |b| = 1 $
SPOILER:
$ |a-b|=|1-\overline{a}b| \\
\iff |a-b|^2=|1-\overline{a}b|^2 \\
\iff \overline{(a-b)}(a-b) = \overline{(1-\overline{a}b)}(1-\overline{a}b) \\
\iff (\overline{a}-\overline{b})(a-b) = (1-a\overline{b})(1-\overline{a}b) \\
\iff 1 + (|a||b|)^2 - |a|^2 - |b|^2 = 0 \\
\iff (1-|a|^2)(1-|b|)^2 = 0 $
$ \iff |a|=1 $ ou $ |b|=1 $
compte supprimé a écrit :
jeu. juin 28, 2012 2:49 pm
- Montrer que pour tout x strictement positif : $ \int_{x}^{1} \frac{1}{t^{2}+1}dt = \int_{1}^{\frac{1}{x}}\frac{1}{t^{2}+1}dt $
SPOILER:
Soit x réel strictement positif.

$ \int_{x}^{1} \frac{1}{t^{2}+1}dt = -\int_{1}^{{x}}\frac{1}{t^{2}+1}dt $

On pose $ u : a \in [1;+\infty] \mapsto 1/a $

On a alors $ u(1)=1 $, $ u(x)=\frac{1}{x} $ et $ \frac{d{u(t)}}{dt} = -\frac{1}{t^2} \Rightarrow dt=-t^2du=-\frac{du}{u^2} $

L'intégrale se réécrit donc :

$ \int_{x}^{1} \frac{1}{t^{2}+1}dt = \int_{1}^{\frac{1}{x}}\frac{1}{u^2((\frac{1}{u})^{2}+1)}du $

Qui donne par substitution de la variable muette $ u $ en $ t $ :

$ \int_{x}^{1} \frac{1}{t^{2}+1}dt = \int_{1}^{\frac{1}{x}}\frac{1}{t^{2}+1}dt $
Dohvakiin a écrit :
jeu. juin 28, 2012 3:29 pm
Assez classique (en tout cas en sup je crois):

Calculer $ \sum_{k=0}^{n}{cos(kx)} $ (x réel)
SPOILER:
Soit n dans $ \mathbb{N} $,

$ \sum_{k=0}^{n}{cos(kx)} = Re\sum_{k=0}^{n}{exp(ikx)} $

Si $ \newcommand{\a}{2\pi} x \equiv 0 \pmod \a $ alors $ \sum_{k=0}^{n}{exp(ikx)} = \sum_{k=0}^{n}{1} $ d'où $ \sum_{k=0}^{n}{cos(kx)} = n+1 $

Sinon, $ \sum_{k=0}^{n}{cos(kx)} = Re(\frac{1-exp(ix(n+1))}{1-exp(ix)}) \\

= Re(\frac{exp(\frac{ix(n+1)}{2})(exp(\frac{-ix(n+1)}{2})-exp(\frac{ix(n+1)}{2}))}{exp(\frac{ix}{2})(exp(\frac{-ix}{2})-exp(\frac{ix}{2}))}) \\

=Re(exp(\frac{ixn}{2})(\frac{sin(\frac{ix(n+1)}{2})}{sin(\frac{ix}{2})})) \\

=cos(\frac{ixn}{2})(\frac{sin(\frac{ix(n+1)}{2})}{sin(\frac{ix}{2})})) $
lionel52 a écrit :
jeu. juin 28, 2012 6:20 pm
Calculer les sommes suivantes, pour x non nul :
$ \sum_{k=0}^n exp(kx) $
SPOILER:
Soit $ n $ dans $ \mathbb{N} $ et $ x $ dans $ \mathbb{R}^* $

On définit $ f : x \in \mathbb{R}^* \mapsto \sum_{k=0}^n exp(kx) $

$ f(x) = \sum_{k=0}^n exp(kx) = \frac{1-exp(x(n+1))}{1-exp(x)} $

lionel52 a écrit :
jeu. juin 28, 2012 6:20 pm
$ \sum_{k=0}^n k.exp(kx) $
SPOILER:
En dérivant :

$ f'(x) = \sum_{k=0}^n k.exp(kx) \\ \iff \sum_{k=0}^n k.exp(kx) = \frac{exp(x)(1-exp(x(n+1)))-exp(x(n+1))(n+1)(1-exp(x))}{(1-exp(x))^2} $

Nabuco
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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » mer. mai 29, 2019 1:17 am

La rédaction du premier exo est archi fausse Un-Un+1 peut changer de signe sans s annuler

Salimovich
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Re: Exercices de MPSI

Message par Salimovich » mer. mai 29, 2019 1:28 am

Hmm alors on suppose par l'absurde que $ f $ et $ g $ n'admettent pas de point fixe commun donc $ f-g $ est de signe constant sur $ [0;1] $ donc $ (U_n) $ monotone borné et on reprend l'argument avec la limite qui amène à une contradiction ?

Nabuco
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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » mer. mai 29, 2019 1:37 am

Salimovich a écrit :
mer. mai 29, 2019 1:28 am
Hmm alors on suppose par l'absurde que $ f $ et $ g $ n'admettent pas de point fixe commun donc $ f-g $ est de signe constant sur $ [0;1] $ donc $ (U_n) $ monotone borné et on reprend l'argument avec la limite qui amène à une contradiction ?
non plus f-g peut s'annuler sans qu'il y ait un point fixe commun...

Salimovich
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Re: Exercices de MPSI

Message par Salimovich » mer. mai 29, 2019 1:42 am

Pardon je voulais dire pas de point commun tout court.

$ \forall x \in [0;1], f(x) \ne g(x) \Rightarrow \forall x \in [0;1], f(x)-g(x) \ne 0 \Rightarrow $ f-g de signe constant

Nabuco
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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » mer. mai 29, 2019 1:44 am

Salimovich a écrit :
mer. mai 29, 2019 1:42 am
Pardon je voulais dire pas de point commun tout court.

$ \forall x \in [0;1], f(x) \ne g(x) \Rightarrow \forall x \in [0;1], f(x)-g(x) \ne 0 \Rightarrow $ f-g de signe constant
Oui enfin quel est l'intérêt ? montrer qu'elles ont un point commune est bien plus faible qu'un point fixe. A priori cet exo me semble compliqué à résoudre en tale car la solution standard contient une notion pas développée en tale contrairement aux autres exos que tu as résolu qui sont juste des calculs.

Salimovich
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Re: Exercices de MPSI

Message par Salimovich » mer. mai 29, 2019 1:52 am

Oui mais justement prouver que ce point commun est la limite de $ (U_n) $ ne suffit-il pas à prouver qu'il est fixe pour $ f $ et donc pour $ g $ ? En passant à la limite avec $ \forall n \in \mathbb{N}, f(U_n)=U_n $.

Edit : Oui non je dis n'importe quoi la suite ne converge pas forcément maintenant qu'on a prouvé que $ f-g $ s'annulait.

Tu aurais pas une indication pour me mettre sur la piste du coup ? :D

Errys
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Re: Exercices de MPSI

Message par Errys » mer. mai 29, 2019 7:39 am

Nabuco a écrit :
mer. mai 29, 2019 1:44 am
Salimovich a écrit :
mer. mai 29, 2019 1:42 am
Pardon je voulais dire pas de point commun tout court.

$ \forall x \in [0;1], f(x) \ne g(x) \Rightarrow \forall x \in [0;1], f(x)-g(x) \ne 0 \Rightarrow $ f-g de signe constant
Oui enfin quel est l'intérêt ? montrer qu'elles ont un point commune est bien plus faible qu'un point fixe. A priori cet exo me semble compliqué à résoudre en tale car la solution standard contient une notion pas développée en tale contrairement aux autres exos que tu as résolu qui sont juste des calculs.
Il existe vraiment une solution à cet exercice ? J'ai l'impression que l'énoncé est faux sans hypothèses en plus : http://www.ams.org/journals/tran/1969-1 ... 6331-5.pdf)
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Salimovich
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Re: Exercices de MPSI

Message par Salimovich » mer. mai 29, 2019 10:41 am

Ah bah comme ça au moins c'est réglé je vais faire confiance à WILLIAM M. BOYCE et arrêter de me casser la tête dessus. :lol:

Nabuco
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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » mer. mai 29, 2019 12:06 pm

Errys a écrit :
mer. mai 29, 2019 7:39 am
Nabuco a écrit :
mer. mai 29, 2019 1:44 am
Salimovich a écrit :
mer. mai 29, 2019 1:42 am
Pardon je voulais dire pas de point commun tout court.

$ \forall x \in [0;1], f(x) \ne g(x) \Rightarrow \forall x \in [0;1], f(x)-g(x) \ne 0 \Rightarrow $ f-g de signe constant
Oui enfin quel est l'intérêt ? montrer qu'elles ont un point commune est bien plus faible qu'un point fixe. A priori cet exo me semble compliqué à résoudre en tale car la solution standard contient une notion pas développée en tale contrairement aux autres exos que tu as résolu qui sont juste des calculs.
Il existe vraiment une solution à cet exercice ? J'ai l'impression que l'énoncé est faux sans hypothèses en plus : http://www.ams.org/journals/tran/1969-1 ... 6331-5.pdf)
Ah oui j ai oublié que l exo originel c était montrer qu il y a une valeur commune.

TLB
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par TLB » mer. mai 29, 2019 12:19 pm

Salimovich a écrit :
mer. mai 29, 2019 12:43 am
Dohvakiin a écrit :
jeu. juin 28, 2012 3:29 pm
Assez classique (en tout cas en sup je crois):

Calculer $ \sum_{k=0}^{n}{cos(kx)} $ (x réel)
SPOILER:
Soit n dans $ \mathbb{N} $,

$ \sum_{k=0}^{n}{cos(kx)} = Re\sum_{k=0}^{n}{exp(ikx)} $

Si $ \newcommand{\a}{2\pi} x \equiv 0 \pmod \a $ alors $ \sum_{k=0}^{n}{exp(ikx)} = \sum_{k=0}^{n}{1} $ d'où $ \sum_{k=0}^{n}{cos(kx)} = n+1 $

Sinon, $ \sum_{k=0}^{n}{cos(kx)} = Re(\frac{1-exp(ix(n+1))}{1-exp(ix)}) \\

= Re(\frac{exp(\frac{ix(n+1)}{2})(exp(\frac{-ix(n+1)}{2})-exp(\frac{ix(n+1)}{2}))}{exp(\frac{ix}{2})(exp(\frac{-ix}{2})-exp(\frac{ix}{2}))}) \\

=Re(exp(\frac{ixn}{2})(\frac{sin(\frac{ix(n+1)}{2})}{sin(\frac{ix}{2})})) \\

=cos(\frac{ixn}{2})(\frac{sin(\frac{ix(n+1)}{2})}{sin(\frac{ix}{2})})) $

T'as des i qui traînent en trop dans tes calculs, sinon la démarche est bonne.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Errys » mer. mai 29, 2019 12:53 pm

compte supprimé a écrit :
jeu. juin 28, 2012 2:49 pm
Soit f une fonction continue sur [0;1] telle que f(0)=f(1). Montrer que l'équation $ f(x+\frac{1}{2})=f(x) $ admet une solution sur [0;$ \frac{1}{2} $]. Généralisation?
SPOILER:
Soit $ h : x \in [0;\frac{1}{2}] \mapsto f(x+\frac{1}{2})-f(x) $

Alors $ h(0)=f(\frac{1}{2})-f(0) $ et $ h(\frac{1}{2})=f(1)-f(\frac{1}{2})=-h(0) $

$ h $ continue change de signe sur $ [0;\frac{1}{2}] $ donc par le TVI $ \exists \alpha \in [0;\frac{1}{2}], f(\alpha + \frac{1}{2})=f(\alpha) $

Pour la généralisation une démo similaire donne que si f est une fonction continue sur $ [0,2a] $ avec $ a $ dans $ \mathbb{R}_+ $ alors l'équation $ f(x+a)=f(x) $ admet au moins une solution sur $ [0;a] $ (Il y a peut-être mieux).
Il y a en effet mieux comme généralisation :
Tu peux montrer deux résultats, le premier est une généralisation assez naturelle et classique,
Le second résultat est plutôt un approfondissement de l'exo, il est nettement plus difficile et demande de connaître son cours de sup sur la continuité (mais pas plus !) donc je sais pas si tu peux le faire.
1) Montrer que pour tout entier n supérieur à 2, il existe 0<=x<=1-1/n tel que f(x) = f(x+1/n)
2) montrer qu'il existe epsilon strictement positif tel que pour tout h < epsilon, il existe x<=1-h tel que f(x) = f(x+h).
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zygomatique
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par zygomatique » mer. mai 29, 2019 5:44 pm

Salimovich a écrit :
mer. mai 29, 2019 12:43 am
mehdinho a écrit :
jeu. juin 28, 2012 2:34 pm
Bon, un exercice un peu difficile pour un TS (je crois même sans trop m'avancer que pas mal de spé qui le rencontrent pour la première fois auront du mal à y arriver)
Soit f et g deux applications continues de I=[0,1] dans I. On suppose que fog=gof. Montrer que f et g admettent un point fixe commun.
SPOILER:
On considère $ h : x\in [0;1] \mapsto f(x)-x $.

$ h(0)=f(0)\geq 0 $ et $ h(1)=f(1)-1\leq 0 $ donc $ h $ s'annule sur $ [0;1] $. Par continuité et le TVI, $ \exists \alpha \in [0;1], f(\alpha)=\alpha $. Par symétrie de $ f $ et $ g $ les deux fonctions admettent un point fixe sur $ [0;1] $.

On considère un point fixe $ U_0 $ de $ f $ et on définit $ (U_n) $ par récurrence : $ \forall n \in \mathbb{N}, U_{n+1} = g(U_n) $. Pour tout $ n, U_n $ n'est autre que la fonction g composée n fois et appliquée à $ U_0 $. $ (U_n) $ est donc bornée par $ [0;1] $. De même si $ f(U_n)=U_n $ alors $ g(f(U_n))=U_{n+1} $ d'où en appliquant la commutativité de la composition de f par g $ f(g(U_n))=U_{n+1} $ i.e $ f(U_{n+1})=U_{n+1} $. Comme $ f(U_0)=U_0 $ on a bien tous les termes de la suite qui sont des points fixes de $ f $.

Soit n dans $ \mathbb{N} $, $ f(U_n)=U_n \Rightarrow f(U_n)-g(U_n)=U_n-g(U_n) \Rightarrow f(U_n)-g(U_n)=U_n-U_{n+1} $. Si $ U_n-U_{n+1} $ s'annule alors $ f(U_n)=g(U_n)=U_n $ et on a trouvé un point fixe commun. Sinon $ U_n-U_{n+1} $ est de signe constant donc $ (U_n) $ est monotone borné et converge donc vers un réel $ l \in [0;1] $. On a alors $ \forall n \in \mathbb{N}, f(U_n)=U_n \Rightarrow \lim\limits_{n \to +\infty} f(U_n) = \lim\limits_{n \to +\infty} U_n \Rightarrow f(l)=l $ et $ \forall n \in \mathbb{N}, U_{n+1} = g(U_n) \Rightarrow \lim\limits_{n \to +\infty} U_{n+1} = \lim\limits_{n \to +\infty} g(U_n) \Rightarrow g(l)=l $ donc $ l $ est point fixe commun de f et g.
on peut remarquer tout de même des choses intéressantes :

soit a un point fixe de g <=> g(a) = a

alors f o g (a) = g o f (a) <=> f(a) = g o f (a) donc f(a) est point fixe de g

donc pour tout point fixe a de g f(a) est point fixe de g ... et réciproquement évidemment ...

or la fonction f o g est continue de [0, 1] dans [0, 1] donc tout comme f et g elle possède un point fixe u

donc on a f o g(u) = u = g o f(u)

donc f o g o f(u) = f(u) et g o f o g (u) = g(u) donc f(u) et g(u) sont points fixes aussi de f o g
Savoir, c'est connaître par le moyen de la démonstration. ARISTOTE

rind2018
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Re: Exercices de MPSI

Message par rind2018 » mer. mai 29, 2019 10:38 pm

J'ai trouver une solution surr internet que j'ai pas trop compris(j'ai deja chercher l'exercice mais maintenant que vous dites qu'il est insoluble je m'arrette)
Démonstration : Tout d'abord étant donné que f et g sont continue en tout point x dans I, alors (f o g) et (g o f) sont continue en tout point x dans I.

Par l'absurde, supposons que f o g=g o f et montrons que f et g n'admettent pas un point fixe commun.

Soit x1,x2 deux points fixe de f et g respectivement. f(x1)=x1 et g(x2)=x2 pour tout x1,x2 dans I. Montrons alors que f(x1)=x1 # g(x2)=x2.

On a : (f o g)(x2)= f(g(x2))=f(x2). ceci d'une parte, d'autre part on a (g o f)(x1)=g(f(x1))=g(x1), Et comme (f o g)(x)= (g o f)(x) pour tout x dans I, alors on a f(x2)=g(x1).

Ceci voudrait dire que f et g admettent un point fixe commun, ce qui est absurde car par hypothèse on a supposé que f et g admettent un point fixe différent.

J ai pas compris le passage ou il affirme que puisque g et f commutent par la composé alors f(x1)=g(x2)
C'est faux non ? Vu que f○g(x2)n est pas forcement egale a f○g(x1)

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