Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Inversion
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Re: Exercices de MPSI

Message par Inversion » sam. juin 01, 2019 7:15 am

Je la refais en entier pour l'exercice d'analyse :D :
SPOILER:
On pose $ g_h(x)=f(x+h)-f(x) $ pour tout $x \in [0,1-h]$. $g_h$ est continue sur $[0,1-h]$. On cherche à montrer qu'il existe $\varepsilon > 0$ tel que pour tout $0 \le h < \varepsilon$, il existe $x \in [0,1-h]$ tel que $g_h(x)=0$.

$f$ est continue, définie sur un intervalle fermé de $\mathbb{R}$, donc admet un maximum $M$ et un minimum $m$ qu'elle atteint. Notons $x_m$ un antécédent de $m$ par $f$. Alors en prenant $\varepsilon \le 1-x_m$, pour tout $h < \varepsilon$, nous avons bien $g_h(x_m)=f(x_m+h)-f(x_m)=f(x_m+h)-m \ge 0$. De même on prend $\varepsilon \le 1-x_M$ avec $x_M$ un antécédent de $M$ par $f$. Alors pour tout $h < \varepsilon$ on a $g_h(x_M)=f(x_M+h)-f(x_M)=f(x_M+h)-M \le 0$. De plus, nous pouvons choisir $x_m$ et $x_M$ tels que $x_m \ne x_M$. Par le TVI, quelque soit $h \le \varepsilon$, $g_h$ s'annule donc au moins une fois entre $x_m$ et $x_M$.
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Nabuco
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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » sam. juin 01, 2019 11:14 am

Inversion a écrit :
sam. juin 01, 2019 7:15 am
Je la refais en entier pour l'exercice d'analyse :D :
SPOILER:
On pose $ g_h(x)=f(x+h)-f(x) $ pour tout $x \in [0,1-h]$. $g_h$ est continue sur $[0,1-h]$. On cherche à montrer qu'il existe $\varepsilon > 0$ tel que pour tout $0 \le h < \varepsilon$, il existe $x \in [0,1-h]$ tel que $g_h(x)=0$.

$f$ est continue, définie sur un intervalle fermé de $\mathbb{R}$, donc admet un maximum $M$ et un minimum $m$ qu'elle atteint. Notons $x_m$ un antécédent de $m$ par $f$. Alors en prenant $\varepsilon \le 1-x_m$, pour tout $h < \varepsilon$, nous avons bien $g_h(x_m)=f(x_m+h)-f(x_m)=f(x_m+h)-m \ge 0$. De même on prend $\varepsilon \le 1-x_M$ avec $x_M$ un antécédent de $M$ par $f$. Alors pour tout $h < \varepsilon$ on a $g_h(x_M)=f(x_M+h)-f(x_M)=f(x_M+h)-M \le 0$. De plus, nous pouvons choisir $x_m$ et $x_M$ tels que $x_m \ne x_M$. Par le TVI, quelque soit $h \le \varepsilon$, $g_h$ s'annule donc au moins une fois entre $x_m$ et $x_M$.
Encore un problème : pas de raison que le min et le max soient atteint autre part qu en 1 (un des deux ok sinon f est constante mais les deux non).

Inversion
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Re: Exercices de MPSI

Message par Inversion » sam. juin 01, 2019 11:30 am

Puisque $f(0)=f(1)$, si l'un des deux est atteint en $1$, alors il est aussi atteint en $0$ non ?
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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » sam. juin 01, 2019 11:43 am

Inversion a écrit :
sam. juin 01, 2019 11:30 am
Puisque $f(0)=f(1)$, si l'un des deux est atteint en $1$, alors il est aussi atteint en $0$ non ?
OK là ça marche. Plus simplement si le max est atteint en x différent de 0 et 1 regarde juste la valeur de gh en x-h et x pour h plus petit que x et 1-x. C est quand même plus simple et évite les distinctions de cas.

Inversion
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Re: Exercices de MPSI

Message par Inversion » sam. juin 01, 2019 11:44 am

Ah oui merci !

Merci beaucoup pour tout le temps que tu as consacré à corriger les fautes (un peu trop nombreuses) et pour les contre-exemples qui sont très instructifs !
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Chronoxx
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Re: Exercices de MPSI

Message par Chronoxx » sam. juin 01, 2019 11:52 am

@Salimovich
SPOILER:
Salimovich a écrit :
sam. juin 01, 2019 4:44 am
(ça m'a pris un bon p'tit 7 lignes pour arriver à ça + des divisions euclidiennes à la main donc si vous avez des astuces pour simplifier les congruences comme ça je suis preneur).
T'utilises la preuve par $9$ : pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f(n) \equiv n [9]$. Ça te donne $f(f(f(4444^{4444}))) \equiv 4444^{4444} \equiv 7^{4444} \equiv 7^{3×1481+1} \equiv 7 [9]$.

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Re: Exercices de MPSI

Message par Salimovich » sam. juin 01, 2019 7:54 pm

Dohvakiin a écrit :
ven. juil. 06, 2012 5:32 pm
Soit z un complexe de module 1, montrer que soit $ |1+z| \geq 1 $, soit $ |1+z^{2}| \geq 1 $
SPOILER:
Bon on peut écrire $z=e^{i\theta}$ factoriser par $z=e^{i \frac {\theta}{2}}$ faire apparaître des $\cos$ etc mais j'ai pensé à une preuve un peu plus rigolote.

On écrit quand même $z=e^{i\theta}$ avec $\theta \in [0;2\pi[$ et $Z$ l'image de $z$ dans le plan complexe. Ajouter $1$ à $z$ équivaut à effectuer une translation d'une unité vers la droite de $Z$ dans le plan. Si $\theta \in [0;\frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2};2\pi[$ alors $Z$ se situe sur le côté droit du cercle trigo, et donc le bouger d'une unité vers la droite le sortira du disque centré à l'origine et de rayon $1$, et on a bien $|1+z| \geq 1$.

On définit $f : \theta \in [0;2\pi[ \mapsto 2|\cos(\theta)|$. $f$ a une interprétation géométrique simple : c'est la distance entre le projeté orthogonal sur l'axe des abscisses d'un point du cercle trigo et celui de son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et donc la distance entre ces deux points. $f$ est continue et strictement croissante sur $[\frac{\pi}{2};\pi]$. Comme $f(\frac{\pi}{2})=0$ et $f(\frac{2\pi}{3})=1$ on a $\forall \theta \in [\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}], f(\theta) \le 1$ d'où la distance entre n'importe quel point de $[\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}]$ et son symétrique est inférieur à $1$ d'où la translation de n'importe lequel de ces points d'une unité vers la droite le sortira du disque de rayon $1$ et centré en 0. Un raisonnement analogue pour $\theta$ dans $[\frac{4\pi}{3};\frac{3\pi}{2}]$ nous donne $\theta \in [\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}]\cup[\frac{4\pi}{3};\frac{3\pi}{2}] \Rightarrow |1+z| \geq 1$.

Enfin, si $\theta \in [\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}]$ alors $2\theta \in [0; \frac{\pi}{2}]\cup[\frac{3\pi}{2}; 2\pi[$ d'où l'image de $z^2=e^{2i\theta}$ est sur le côté droit du cercle, et donc le décaler d'une unité vers la gauche le sort du disque et on a bien $|1+z^2| \geq 1$.

Sinon je retrouve plus le message mais à un moment quelqu'un demande de trouver toutes les fonctions continues $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $f \cdot f=fof$ et je sais pas du tout comment aborder ce genre d'exos (j'ai prouvé que les seules solutions polynomiales sont $x \mapsto 0$, $x \mapsto 1$ et $x \mapsto x^2$ mais c'est bien loin du résultat).

Salimovich
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Re: Exercices de MPSI

Message par Salimovich » sam. juin 01, 2019 7:56 pm

Chronoxx a écrit :
sam. juin 01, 2019 11:52 am
@Salimovich
SPOILER:
Salimovich a écrit :
sam. juin 01, 2019 4:44 am
(ça m'a pris un bon p'tit 7 lignes pour arriver à ça + des divisions euclidiennes à la main donc si vous avez des astuces pour simplifier les congruences comme ça je suis preneur).
T'utilises la preuve par $9$ : pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f(n) \equiv n [9]$. Ça te donne $f(f(f(4444^{4444}))) \equiv 4444^{4444} \equiv 7^{4444} \equiv 7^{3×1481+1} \equiv 7 [9]$.

Nan mais justement, comment t'as eu l'idée de faire la division euclidienne de $4444$ par 3 ? Tu as juste regardé le reste modulo 9 des premières puissances de 7 en espérant tomber sur 1 ?

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Re: Exercices de MPSI

Message par rind2018 » sam. juin 01, 2019 8:05 pm

Salimovich a écrit :
sam. juin 01, 2019 7:56 pm
Chronoxx a écrit :
sam. juin 01, 2019 11:52 am
@Salimovich
SPOILER:
Salimovich a écrit :
sam. juin 01, 2019 4:44 am
(ça m'a pris un bon p'tit 7 lignes pour arriver à ça + des divisions euclidiennes à la main donc si vous avez des astuces pour simplifier les congruences comme ça je suis preneur).
T'utilises la preuve par $9$ : pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f(n) \equiv n [9]$. Ça te donne $f(f(f(4444^{4444}))) \equiv 4444^{4444} \equiv 7^{4444} \equiv 7^{3×1481+1} \equiv 7 [9]$.

Nan mais justement, comment t'as eu l'idée de faire la division euclidienne de $4444$ par 3 ? Tu as juste regardé le reste modulo 9 des premières puissances de 7 en espérant tomber sur 1 ?
Periodicité de certaine congruences,en essayant avec les premières puissances de 7.(en tout cas c'est la technique classique)

Naelvicoz
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Approfondissement cours MPSI

Message par Naelvicoz » sam. juin 01, 2019 8:52 pm

Salut,

Que diriez-vous d'un fil où l'on poserait des questions afin d'approfondir le cours de notre année qui va bientôt s'achever ? L'objet n'est pas ici de mettre des exercices difficiles mais les questions peuvent être difficiles et peuvent demander du recul sur le cours. Idéalement, cela ne doit pas nécessiter de calculs. Cela peut être de trouver un exemple ou contre exemple particulier, un prolongement d'un résultat du cours (changement du corps de base - il paraît qu'à l'ENS ils aiment bien poser ces petites questions lors d'un oral d'algèbre linéaire...). Notre prof fait souvent des appartés en mode "remarque pour les futurs MP*" lors du cours. C'est de ce genre de choses dont je parle. Les questions peuvent être faciles du moment que ça fait réfléchir sur une subtilité du cours. Les questions/remarques du cours de M. Troesch en sont parfois des exemples.

Je commence par vous donner des questions que j'ai bien aimées.
Donner un exemple de polynôme $ P $ non constant à coefficient dans un corps $ \mathbb K $ tel que $ \mathrm{deg}(P')<\mathrm{deg}(P)-1 $ et donner une condition sur $ \mathbb K $ pour qu'une telle situation ne se présente pas.
Montrer que dans la définition d'un anneau, le caractère abélien de la loi de groupe est une conséquence des autres axiomes de la définition.
Soit $ E $ un $ \mathbb K $-espace vectoriel et $ \mathbb L $ un sous-corps de $ \mathbb K $.
Est-ce qu'on a $ (\mathrm{dim}_{\mathbb K}(E)<+\infty) \implies (\mathrm{dim}_{\mathbb L}(E)<+\infty) $ ?
Est-ce qu'on a $ (\mathrm{dim}_{\mathbb L}(E)<+\infty) \implies (\mathrm{dim}_{\mathbb K}(E)<+\infty) $ ?
Montrer que la famille vide est libre sur tout espace vectoriel. De quel espace est-ce une base ?
Le caractère irréductible d'un polynôme est-il invariant par extension de corps ? Et par diminution du corps de base ?
Donner un exemple d'endomorphisme d'un espace vectoriel $ E $ qui n'admet pas de polynôme annulateur non nul.
Qu'est-ce que cela signifie sur $ \mathrm{dim}(E) $ ?

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zygomatique
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Re: Exercices de MPSI

Message par zygomatique » sam. juin 01, 2019 9:23 pm

Salimovich a écrit :
sam. juin 01, 2019 7:54 pm
Dohvakiin a écrit :
ven. juil. 06, 2012 5:32 pm
Soit z un complexe de module 1, montrer que soit $ |1+z| \geq 1 $, soit $ |1+z^{2}| \geq 1 $
SPOILER:
Bon on peut écrire $z=e^{i\theta}$ factoriser par $z=e^{i \frac {\theta}{2}}$ faire apparaître des $\cos$ etc mais j'ai pensé à une preuve un peu plus rigolote.

On écrit quand même $z=e^{i\theta}$ avec $\theta \in [0;2\pi[$ et $Z$ l'image de $z$ dans le plan complexe. Ajouter $1$ à $z$ équivaut à effectuer une translation d'une unité vers la droite de $Z$ dans le plan. Si $\theta \in [0;\frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2};2\pi[$ alors $Z$ se situe sur le côté droit du cercle trigo, et donc le bouger d'une unité vers la droite le sortira du disque centré à l'origine et de rayon $1$, et on a bien $|1+z| \geq 1$.

On définit $f : \theta \in [0;2\pi[ \mapsto 2|\cos(\theta)|$. $f$ a une interprétation géométrique simple : c'est la distance entre le projeté orthogonal sur l'axe des abscisses d'un point du cercle trigo et celui de son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et donc la distance entre ces deux points. $f$ est continue et strictement croissante sur $[\frac{\pi}{2};\pi]$. Comme $f(\frac{\pi}{2})=0$ et $f(\frac{2\pi}{3})=1$ on a $\forall \theta \in [\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}], f(\theta) \le 1$ d'où la distance entre n'importe quel point de $[\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}]$ et son symétrique est inférieur à $1$ d'où la translation de n'importe lequel de ces points d'une unité vers la droite le sortira du disque de rayon $1$ et centré en 0. Un raisonnement analogue pour $\theta$ dans $[\frac{4\pi}{3};\frac{3\pi}{2}]$ nous donne $\theta \in [\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}]\cup[\frac{4\pi}{3};\frac{3\pi}{2}] \Rightarrow |1+z| \geq 1$.

Enfin, si $\theta \in [\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}]$ alors $2\theta \in [0; \frac{\pi}{2}]\cup[\frac{3\pi}{2}; 2\pi[$ d'où l'image de $z^2=e^{2i\theta}$ est sur le côté droit du cercle, et donc le décaler d'une unité vers la gauche le sort du disque et on a bien $|1+z^2| \geq 1$.

Sinon je retrouve plus le message mais à un moment quelqu'un demande de trouver toutes les fonctions continues $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $f \cdot f=fof$ et je sais pas du tout comment aborder ce genre d'exos (j'ai prouvé que les seules solutions polynomiales sont $x \mapsto 0$, $x \mapsto 1$ et $x \mapsto x^2$ mais c'est bien loin du résultat).
on peut faire un peu plus efficace :

notons A, M et N les points d'affixe -1, z, et z^2 avec z = exp(it) et donc z^2 = exp (2it) avec t dans [0, 2pi]

alors |1 + z| = |z - (-1)| = AM et |1 + z^2| = |z^2 - (-1)| = AN

le cercle trigonométrique et le cercle C de centre A et de rayon 1 se coupent en t = 2pi/3 et t = 4pi/3

(l'étude de) la fonction f : t --> 2t (sur [0, 2pi]) permet alors de conclure
Savoir, c'est connaître par le moyen de la démonstration. ARISTOTE

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Re: Exercices de MPSI

Message par matmeca_mcf1 » dim. juin 02, 2019 10:25 am

Salimovich a écrit :
sam. juin 01, 2019 7:54 pm
Sinon je retrouve plus le message mais à un moment quelqu'un demande de trouver toutes les fonctions continues $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $f \cdot f=fof$ et je sais pas du tout comment aborder ce genre d'exos (j'ai prouvé que les seules solutions polynomiales sont $x \mapsto 0$, $x \mapsto 1$ et $x \mapsto x^2$ mais c'est bien loin du résultat).
Que vaut $ f(x) $ quand $ x $ appartient à l'image de $ f $?
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Chronoxx » dim. juin 02, 2019 11:34 am

Salut !
Naelvicoz a écrit :
sam. juin 01, 2019 8:52 pm
Donner un exemple de polynôme $ P $ non constant à coefficient dans un corps $ \mathbb K $ tel que $ \mathrm{deg}(P')<\mathrm{deg}(P)-1 $ et donner une condition sur $ \mathbb K $ pour qu'une telle situation ne se présente pas.
SPOILER:
On peut prendre le polynôme $P = X^2 \in \mathbb{F}_2[X]$.
Une condition suffisante (et probablement nécessaire) pour que ça ne se présente pas est de se placer dans un corps de caractéristique nul typiquement $\mathbb{R}$.
Edit: mis en spoiler
Modifié en dernier par Chronoxx le dim. juin 02, 2019 12:03 pm, modifié 1 fois.
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Errys » dim. juin 02, 2019 11:51 am

Bonne idée ce fil ! Je poserai des questions qui me viennent de temps en temps :D
Donner un exemple de polynôme $ P $ non constant à coefficient dans un corps $ \mathbb K $ tel que $ \mathrm{deg}(P')<\mathrm{deg}(P)-1 $ et donner une condition sur $ \mathbb K $ pour qu'une telle situation ne se présente pas.
SPOILER:
On peut prendre $ P(X) = X^2 $ dans $ K= \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $, $ P' = 0 $ donc $ \mathrm{deg}(P') < \mathrm{deg}(P) - 1 $. On se rend facilement compte que le problème arrive quand le corps est de caractéristique non nulle. Ainsi, une CNS sur le corps $ K $ pour que l'inégalité soit verifiée pour tout polynome P non constant est que $ K $ soit de caractéristique nulle.
Montrer que dans la définition d'un anneau, le caractère abélien de la loi de groupe est une conséquence des autres axiomes de la définition.
SPOILER:
Prendre $ a,b\in A $. On a d'une part $ (1+1)(a+b) = a + b + a + b $ en utilisant la distributivité à gauche. Et d'autre part $ (1+1)(a+b)=(1+1)a + (1+1)b = a+a+b+b $ d'où $ a+b+a+b = a+a+b+b\implies b+a=a+b $ (en ajoutant à gauche $ -a $ et à droite $ -b $)
Soit $ E $ un $ \mathbb K $-espace vectoriel et $ \mathbb L $ un sous-corps de $ \mathbb K $.
Est-ce qu'on a $ (\mathrm{dim}_{\mathbb K}(E)<+\infty) \implies (\mathrm{dim}_{\mathbb L}(E)<+\infty) $ ?
Est-ce qu'on a $ (\mathrm{dim}_{\mathbb L}(E)<+\infty) \implies (\mathrm{dim}_{\mathbb K}(E)<+\infty) $ ?
SPOILER:
Pour la première la réponse est non : On a $ \mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}) = 2 $ tandis que $ \mathrm{dim}_{\mathbb{Q}}(\mathbb{C}) = +\infty $. La première égalité est claire. Pour la seconde on remarque qu'une famille finie engendre un ensemble au plus dénombrable avec $ \mathbb{Q} $
Montrer que la famille vide est libre sur tout espace vectoriel. De quel espace est-ce une base ?
SPOILER:

La famille vide est libre car toutes une combinaison linéaire à partir de la famille vide ne comporte que des scalaires nuls (car il y en a aucun :D)
L'ev engendré par la famille vide est $ \{0\} $ car une somme vide vaut 0 par convention. Ainsi c'est une base de l'ev $ \{0\} $
Le caractère irréductible d'un polynôme est-il invariant par extension de corps ? Et par diminution du corps de base ?
SPOILER:
Non pour la deuxième : Le polynôme $ X^2 + 1 $ est irréductible dans $ \mathbb{R}[X] $ mais pas dans $ \mathbb{C}[X] $.
En revanche, il est invariant si on diminue le corps de base : Un polynôme réductible sur un corps est à fortiori réductible sur une extension de corps, donc on peut conclure par contraposée.
Donner un exemple d'endomorphisme d'un espace vectoriel $ E $ qui n'admet pas de polynôme annulateur non nul.
Qu'est-ce que cela signifie sur $ \mathrm{dim}(E) $ ?
SPOILER:
Prendre $ E = \mathbb{R}[X] $ et l'endomorphisme de dérivation. Si je prend $ P $ un polynôme de degré $ n\ge 0 $, alors $ X^{n} $ ne va pas annuler $ P(\delta) $.
Cela signifie que $ \dim E = \infty $. Sinon si on prend $ n=\dim E $, $ f\in\mathcal{L}(E) $, la famille $ (Id, f, \ldots, f^{n^2}) $ est liée donc admet un polynôme annulateur non nul.

D'autres questions maintenant :
Trouver une suite $ (u_n) $ réelle bornée telle que $ u_{n+1} - u_n\to 0 $ mais qui ne converge pas.
On sait montrer Bolzano-Weierstrass dans $ \mathbb{R}^n $ facilement par extractions successives. Mais est-ce que l'on sait aussi le faire en dimension infinie ? Si je prend une suite de suites $ (u_{n,m}) $, est-ce qu'il existe une extractrice $ (\phi(n)) $ tel que pour tout entier $ m $, $ (u_{m, \phi(n)})_{n\ge 0} $ converge ?
Soient $ \mathbb{K}\subseteq\mathbb{L} $ des corps et $ E $ un $ \mathbb{L} $ espace vectoriel de dimension finie. On suppose $ \dim_{\mathbb{K}}(\mathbb{L})<\infty $. Trouver $ \dim_{\mathbb{K}}(E) $
C'est tout ce que j'ai pour le moment :D
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Schädel » dim. juin 02, 2019 5:10 pm

Soit u une suite à valeurs réelles ; peut-on écrire u comme somme d'une suite croissante et d'une suite décroissante ?

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