Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Avatar du membre
Hicham alpha
Messages : 89
Enregistré le : sam. nov. 10, 2018 3:20 am
Classe : MPSI

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Hicham alpha » mar. juin 04, 2019 12:27 am

1sala23 a écrit :
mar. juin 04, 2019 12:23 am

SPOILER:
$ u_{n} = \frac{1}{n} $, la série associée à cette suite diverge, et avec $ v_{n} = \frac{1}{nln(n)^2} $ la série associée converge, et on a bien Un ∼ Vn
Je ne pense pas que la condition Un ∼ Vn est vérifiée dans l'exemple que tu as donné !

Bonne journée
[2018 , 2019] : MPSI

Simon Billouet
Messages : 155
Enregistré le : mer. avr. 18, 2018 7:17 pm
Classe : MPSI

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Simon Billouet » mar. juin 04, 2019 5:46 am

Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.
Professeur de mathématiques et d'informatique en MPSI au lycée Vaugelas ( http://cpgevaugelas.free.fr )

Mathoss
Messages : 147
Enregistré le : ven. juin 16, 2017 7:44 pm
Classe : MPSI

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Mathoss » mar. juin 04, 2019 8:06 am

Hicham alpha a écrit :
mar. juin 04, 2019 12:27 am
1sala23 a écrit :
mar. juin 04, 2019 12:23 am

SPOILER:
$ u_{n} = \frac{1}{n} $, la série associée à cette suite diverge, et avec $ v_{n} = \frac{1}{nln(n)^2} $ la série associée converge, et on a bien Un ∼ Vn
Je ne pense pas que la condition Un ∼ Vn est vérifiée dans l'exemple que tu as donné !

Bonne journée
On risque pas de trouver avec 2 séries à termes positifs puisque c'est les théorèmes du cours qui s'appliquent là :lol:
2016-2017 TS Spé Maths
2017-2018 MPSI Condorcet
2018-2019 MP* Condorcet
2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques

Avatar du membre
Hicham alpha
Messages : 89
Enregistré le : sam. nov. 10, 2018 3:20 am
Classe : MPSI

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Hicham alpha » mar. juin 04, 2019 12:32 pm

Mathoss a écrit :
mar. juin 04, 2019 8:06 am
1sala23 a écrit :
mar. juin 04, 2019 12:23 am

SPOILER:
$ u_{n} = \frac{1}{n} $, la série associée à cette suite diverge, et avec $ v_{n} = \frac{1}{nln(n)^2} $ la série associée converge, et on a bien Un ∼ Vn
On risque pas de trouver avec 2 séries à termes positifs puisque c'est les théorèmes du cours qui s'appliquent là :lol:
Oui, tout à fait ( les séries à termes positifs ne le vérifient pas)

Bonne journée
[2018 , 2019] : MPSI

matmeca_mcf1
Messages : 1448
Enregistré le : mar. févr. 13, 2018 10:22 am

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par matmeca_mcf1 » mar. juin 04, 2019 12:36 pm

Indice: partez d'une série alternée qui n'est pas absolument convergente.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

Errys
Messages : 300
Enregistré le : mer. oct. 04, 2017 3:58 pm
Classe : MPSI

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Errys » mar. juin 04, 2019 1:47 pm

Trouver une série divergente ∑ Un et une série convergente ∑ Vn telles que Un ∼ Vn.
SPOILER:
Pas si évident que ça de trouver un contre-exemple ! Les suites ne peuvent pas être de signe constant sinon on est dans le cadre du théorème usuel.
On prend donc $ u_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} $ pour construire $ (v_n) $, elle doit être du même signe que $ u_n $ à partir d'un certain rang, on peut donc supposer que c'est toujours le cas, d'où $ v_n = (-1)^n x_n $ avec $ (x_n) $ une suite positive qui ne peut pas être décroissante mais qui est équivalente à $ 1/\sqrt{n} $.
Pour cela, on peut prendre $ x_n = \dfrac{1}{\sqrt{n} + (-1)^n} $ (on définit les suites que pour $ n \ge 2 $ pour éviter des problèmes de définitions futiles).
On a alors au voisinage de l'infini :
$$ v_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}+ (-1)^n} = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\cdot \dfrac{1}{1+ \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}} = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} (1- \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \dfrac{1}{n} + o(1/n)) $$
$$ v_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{n}+ \dfrac{(-1)^n}{n\sqrt{n}} + o(1/n^{3/2}) $$
Les termes $ \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} $ et $ \dfrac{(-1)^n}{n\sqrt{n}} $ sont des termes de séries semi-convergentes d'après le critère des séries alternées. Le terme qui se cache derrière le $ o(1/n^{3/2}) $ est le terme d'une série absolument convergente.
Ainsi, la série de terme général $ (v_n) $ ne peut converger car cela impliquerait la convergence de la série harmonique.

Donc on a $ u_n \sim v_n $, $ \sum u_n $ converge mais $ \sum v_n $ diverge !
Lycée Édouard Branly 2015-2018
LLG HX1 2018-2018
LLG MP*3 2019-2020

Avatar du membre
Hicham alpha
Messages : 89
Enregistré le : sam. nov. 10, 2018 3:20 am
Classe : MPSI

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Hicham alpha » mar. juin 04, 2019 6:25 pm

Simon Billouet a écrit :
mar. juin 04, 2019 5:46 am
Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.
Un indice svp ?!
[2018 , 2019] : MPSI

Simon Billouet
Messages : 155
Enregistré le : mer. avr. 18, 2018 7:17 pm
Classe : MPSI

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Simon Billouet » mar. juin 04, 2019 6:31 pm

Essayez de raisonner par l'absurde et pensez à Bolzano et à Weierstrass (quand vous aurez résolu l'exercice vous pourrez également lire l'"anecdote personnelle" à leur sujet qui commence cet article et qui me fait beaucoup rire).
Professeur de mathématiques et d'informatique en MPSI au lycée Vaugelas ( http://cpgevaugelas.free.fr )

Avatar du membre
Chronoxx
Messages : 188
Enregistré le : ven. nov. 17, 2017 9:53 pm
Classe : MPSI

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Chronoxx » mar. juin 04, 2019 8:23 pm

Simon Billouet a écrit :
mar. juin 04, 2019 5:46 am
Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.
SPOILER:
La première idée qui me vient, c'est d'itérer BW successivement sur chaque sous-suite jusqu'à "l'épuisement" de tous les termes de la suite. Si un nombre fini d'itération suffit, alors $u$ converge vers $L$. Si un nombre infini de fois est nécessaire, on peut se débrouiller pour ranger tous les termes restants dans une des sous-suites.
Désolé, je suis sur mon téléphone et Latex c'est un peu galère, j'essayerai de formaliser ça :mrgreen:
2017-2018 : TS Spé Maths
2018-2020 : MPSI/MP H4

<AQT> $   \frac{\pi}{17} $ </AQT>

Avatar du membre
Hicham alpha
Messages : 89
Enregistré le : sam. nov. 10, 2018 3:20 am
Classe : MPSI

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Hicham alpha » mar. juin 04, 2019 8:37 pm

Chronoxx a écrit :
mar. juin 04, 2019 8:23 pm
SPOILER:
La première idée qui me vient, c'est d'itérer BW successivement sur chaque sous-suite jusqu'à "l'épuisement" de tous les termes de la suite. Si un nombre fini d'itération suffit, alors $u$ converge vers $L$. Si un nombre infini de fois est nécessaire, on peut se débrouiller pour ranger tous les termes restants dans une des sous-suites.
Désolé, je suis sur mon téléphone et Latex c'est un peu galère, j'essayerai de formaliser ça :mrgreen:
oui, cette idée m'est venue à l'esprit aussi, mais j'avais peur que ces itérations seront infinis ( rien ne l'assure :oops: )
pour l'arrangement des termes restants, je ne connais pas de grandes choses à propos de cela :o

bonne journée
[2018 , 2019] : MPSI

Mathoss
Messages : 147
Enregistré le : ven. juin 16, 2017 7:44 pm
Classe : MPSI

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Mathoss » mar. juin 04, 2019 8:40 pm

Chronoxx a écrit :
mar. juin 04, 2019 8:23 pm
Simon Billouet a écrit :
mar. juin 04, 2019 5:46 am
Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.
SPOILER:
La première idée qui me vient, c'est d'itérer BW successivement sur chaque sous-suite jusqu'à "l'épuisement" de tous les termes de la suite. Si un nombre fini d'itération suffit, alors $u$ converge vers $L$. Si un nombre infini de fois est nécessaire, on peut se débrouiller pour ranger tous les termes restants dans une des sous-suites.
Désolé, je suis sur mon téléphone et Latex c'est un peu galère, j'essayerai de formaliser ça :mrgreen:
Taboutiras pas comme ça puisque quand t'extrais une suite, t'as tjrs un nombre infini dénombrable de termes à chaque itération ^^
Cherche vraiment par l'absurde, ça se voit bien avec un dessin
2016-2017 TS Spé Maths
2017-2018 MPSI Condorcet
2018-2019 MP* Condorcet
2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques

Avatar du membre
Chronoxx
Messages : 188
Enregistré le : ven. nov. 17, 2017 9:53 pm
Classe : MPSI

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Chronoxx » mar. juin 04, 2019 8:43 pm

My bad, je vois que ça coince quand j'essaie de formaliser. Faut prendre mon précédent message comme une simple idée spontanée :)
Modifié en dernier par Chronoxx le mar. juin 04, 2019 8:59 pm, modifié 3 fois.
2017-2018 : TS Spé Maths
2018-2020 : MPSI/MP H4

<AQT> $   \frac{\pi}{17} $ </AQT>

Nabuco
Messages : 621
Enregistré le : dim. sept. 17, 2017 10:09 pm

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Nabuco » mar. juin 04, 2019 8:47 pm

Chronoxx a écrit :
mar. juin 04, 2019 8:43 pm
Oui mais si, après extraction, il te reste un nombre fini de termes, tu peux les "ajouter" à ta suite extraite qui ne modifie pas la nature de la suite extraite ?

Après, par l'absurde, ça doit bien marcher aussi ^^
pas de raison d'avoir un nombre fini de termes après extraction successive (typiquement tes extractions ne pourraient que toucher les termes pairs...

Avatar du membre
Hicham alpha
Messages : 89
Enregistré le : sam. nov. 10, 2018 3:20 am
Classe : MPSI

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Hicham alpha » mar. juin 04, 2019 8:51 pm

Chronoxx a écrit :
mar. juin 04, 2019 8:43 pm
Oui mais si, après extraction, il te reste un nombre fini de termes, tu peux les "ajouter" à ta suite extraite qui ne modifie pas la nature de la suite extraite ?
Mais, qu'est ce que nous assure qu'il va nous rester un nombre fini de termes ?
puisque on veut épuiser l'infini (infinité des termes ) par l'infini ( infinité d'itération), cela s'avère un peu compliqué :oops:
peut etre, on aura jamais des termes restants finis :shock:

bonne journée
[2018 , 2019] : MPSI

Avatar du membre
Chronoxx
Messages : 188
Enregistré le : ven. nov. 17, 2017 9:53 pm
Classe : MPSI

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Chronoxx » mar. juin 04, 2019 9:22 pm

Nabuco a écrit :
mar. juin 04, 2019 8:47 pm
pas de raison d'avoir un nombre fini de termes après extraction successive (typiquement tes extractions ne pourraient que toucher les termes pairs...
Je parlais du cas particulier où il restait un nombre fini de termes (je me suis mal exprimé, j'ai très mal placé le "si" conditionnel dans ma précédente phrase).

Quoi qu'il en soit, ça se fait bien par l'absurde.
C'était juste une idée ^^
2017-2018 : TS Spé Maths
2018-2020 : MPSI/MP H4

<AQT> $   \frac{\pi}{17} $ </AQT>

Répondre

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 6 invités