Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

matmeca_mcf1
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par matmeca_mcf1 » mar. juin 04, 2019 12:36 pm

Indice: partez d'une série alternée qui n'est pas absolument convergente.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

Errys
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Errys » mar. juin 04, 2019 1:47 pm

Trouver une série divergente ∑ Un et une série convergente ∑ Vn telles que Un ∼ Vn.
SPOILER:
Pas si évident que ça de trouver un contre-exemple ! Les suites ne peuvent pas être de signe constant sinon on est dans le cadre du théorème usuel.
On prend donc $ u_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} $ pour construire $ (v_n) $, elle doit être du même signe que $ u_n $ à partir d'un certain rang, on peut donc supposer que c'est toujours le cas, d'où $ v_n = (-1)^n x_n $ avec $ (x_n) $ une suite positive qui ne peut pas être décroissante mais qui est équivalente à $ 1/\sqrt{n} $.
Pour cela, on peut prendre $ x_n = \dfrac{1}{\sqrt{n} + (-1)^n} $ (on définit les suites que pour $ n \ge 2 $ pour éviter des problèmes de définitions futiles).
On a alors au voisinage de l'infini :
$$ v_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}+ (-1)^n} = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\cdot \dfrac{1}{1+ \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}} = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} (1- \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \dfrac{1}{n} + o(1/n)) $$
$$ v_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{n}+ \dfrac{(-1)^n}{n\sqrt{n}} + o(1/n^{3/2}) $$
Les termes $ \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} $ et $ \dfrac{(-1)^n}{n\sqrt{n}} $ sont des termes de séries semi-convergentes d'après le critère des séries alternées. Le terme qui se cache derrière le $ o(1/n^{3/2}) $ est le terme d'une série absolument convergente.
Ainsi, la série de terme général $ (v_n) $ ne peut converger car cela impliquerait la convergence de la série harmonique.

Donc on a $ u_n \sim v_n $, $ \sum u_n $ converge mais $ \sum v_n $ diverge !
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Hicham alpha
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Hicham alpha » mar. juin 04, 2019 6:25 pm

Simon Billouet a écrit :
mar. juin 04, 2019 5:46 am
Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.
Un indice svp ?!
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Simon Billouet
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Simon Billouet » mar. juin 04, 2019 6:31 pm

Essayez de raisonner par l'absurde et pensez à Bolzano et à Weierstrass (quand vous aurez résolu l'exercice vous pourrez également lire l'"anecdote personnelle" à leur sujet qui commence cet article et qui me fait beaucoup rire).
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Chronoxx » mar. juin 04, 2019 8:23 pm

Simon Billouet a écrit :
mar. juin 04, 2019 5:46 am
Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.
SPOILER:
La première idée qui me vient, c'est d'itérer BW successivement sur chaque sous-suite jusqu'à "l'épuisement" de tous les termes de la suite. Si un nombre fini d'itération suffit, alors $u$ converge vers $L$. Si un nombre infini de fois est nécessaire, on peut se débrouiller pour ranger tous les termes restants dans une des sous-suites.
Désolé, je suis sur mon téléphone et Latex c'est un peu galère, j'essayerai de formaliser ça :mrgreen:
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Hicham alpha » mar. juin 04, 2019 8:37 pm

Chronoxx a écrit :
mar. juin 04, 2019 8:23 pm
SPOILER:
La première idée qui me vient, c'est d'itérer BW successivement sur chaque sous-suite jusqu'à "l'épuisement" de tous les termes de la suite. Si un nombre fini d'itération suffit, alors $u$ converge vers $L$. Si un nombre infini de fois est nécessaire, on peut se débrouiller pour ranger tous les termes restants dans une des sous-suites.
Désolé, je suis sur mon téléphone et Latex c'est un peu galère, j'essayerai de formaliser ça :mrgreen:
oui, cette idée m'est venue à l'esprit aussi, mais j'avais peur que ces itérations seront infinis ( rien ne l'assure :oops: )
pour l'arrangement des termes restants, je ne connais pas de grandes choses à propos de cela :o

bonne journée
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Mathoss » mar. juin 04, 2019 8:40 pm

Chronoxx a écrit :
mar. juin 04, 2019 8:23 pm
Simon Billouet a écrit :
mar. juin 04, 2019 5:46 am
Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.
SPOILER:
La première idée qui me vient, c'est d'itérer BW successivement sur chaque sous-suite jusqu'à "l'épuisement" de tous les termes de la suite. Si un nombre fini d'itération suffit, alors $u$ converge vers $L$. Si un nombre infini de fois est nécessaire, on peut se débrouiller pour ranger tous les termes restants dans une des sous-suites.
Désolé, je suis sur mon téléphone et Latex c'est un peu galère, j'essayerai de formaliser ça :mrgreen:
Taboutiras pas comme ça puisque quand t'extrais une suite, t'as tjrs un nombre infini dénombrable de termes à chaque itération ^^
Cherche vraiment par l'absurde, ça se voit bien avec un dessin
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Chronoxx » mar. juin 04, 2019 8:43 pm

My bad, je vois que ça coince quand j'essaie de formaliser. Faut prendre mon précédent message comme une simple idée spontanée :)
Modifié en dernier par Chronoxx le mar. juin 04, 2019 8:59 pm, modifié 3 fois.
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Nabuco » mar. juin 04, 2019 8:47 pm

Chronoxx a écrit :
mar. juin 04, 2019 8:43 pm
Oui mais si, après extraction, il te reste un nombre fini de termes, tu peux les "ajouter" à ta suite extraite qui ne modifie pas la nature de la suite extraite ?

Après, par l'absurde, ça doit bien marcher aussi ^^
pas de raison d'avoir un nombre fini de termes après extraction successive (typiquement tes extractions ne pourraient que toucher les termes pairs...

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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Hicham alpha » mar. juin 04, 2019 8:51 pm

Chronoxx a écrit :
mar. juin 04, 2019 8:43 pm
Oui mais si, après extraction, il te reste un nombre fini de termes, tu peux les "ajouter" à ta suite extraite qui ne modifie pas la nature de la suite extraite ?
Mais, qu'est ce que nous assure qu'il va nous rester un nombre fini de termes ?
puisque on veut épuiser l'infini (infinité des termes ) par l'infini ( infinité d'itération), cela s'avère un peu compliqué :oops:
peut etre, on aura jamais des termes restants finis :shock:

bonne journée
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Chronoxx » mar. juin 04, 2019 9:22 pm

Nabuco a écrit :
mar. juin 04, 2019 8:47 pm
pas de raison d'avoir un nombre fini de termes après extraction successive (typiquement tes extractions ne pourraient que toucher les termes pairs...
Je parlais du cas particulier où il restait un nombre fini de termes (je me suis mal exprimé, j'ai très mal placé le "si" conditionnel dans ma précédente phrase).

Quoi qu'il en soit, ça se fait bien par l'absurde.
C'était juste une idée ^^
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Chronoxx » mar. juin 04, 2019 9:43 pm

Algèbre : :)
Pour toutes matrices $A,B\in\mathscr{M}_n(\mathbb{Z})$, a-t-on $\left( \text{det}(A) \wedge \text{det}(B) = 1 \right) \Rightarrow \left( \exists U,V\in\mathscr{M}_n(\mathbb{Z}), AU + BV = I_n \right)$ ?
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par antoine311200 » mar. juin 04, 2019 10:45 pm

Simon Billouet a écrit :
mar. juin 04, 2019 5:46 am
Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.
Bonjour, j'ai eu cet exercice en colle pendant l'année :
SPOILER:
Supposons que $ (u_n) $ ne converge pas, alors il existe $ \epsilon > 0 $ tel que pour tout $ n \in \mathbb{N} $, il existe $ n_1 \geq n $ tel que $ \mid u_{n_1} - L\mid > \epsilon $

Considérons l'ensemble $ A = \{n \in \mathbb{N}, \mid u_n - L\mid > \epsilon \} $, cet ensemble est infini. En effet, si $ A $ était fini, il admetterait un plus grand élément, notons le $ M $. Or d'après l'hypothèse, on aurait l'existence de $ n_2 > M $ tel que $ \mid u_{n_2} - L\mid > \epsilon $ et c'est absurde car $ n_2 \in A $ par définition.

Ensuite, on peut alors construire une application $ \varphi : \mathbb{N} \rightarrow A $ strictement croissant. Alors, pour tout $ n \in \mathbb{N}, \mid u_{\varphi(n)} - L\mid > \epsilon $.
De plus, cette suite extraite est bornée car $ (u_n) $ l'est aussi. Ainsi, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous-suite convergente vers un entier $ l $, notons là $ (u_{\psi(n)}) $.

Par extension, pour tout $ n \in \mathbb{N}, \mid u_{\psi(n)} - L\mid > \epsilon $. En passant à la limite, on obtient la relation suivante qui va nous permettre de conclure :
$ \mid l - L \mid \geq \epsilon $ i.e $ l \not= L $

Cela prouve l'existence de deux limites différentes au sein des sous-suites de $ (u_n) $ (on parle de valeurs d'adhérence, la suite $ (u_n) $ en admet alors au moins deux). C'est absurde !

Donc $ (u_n) $ converge !
Modifié en dernier par antoine311200 le mer. juin 05, 2019 5:35 pm, modifié 1 fois.
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Errys
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Errys » mar. juin 04, 2019 11:01 pm

Chronoxx a écrit :
mar. juin 04, 2019 9:43 pm
Algèbre : :)
Pour toutes matrices $A,B\in\mathscr{M}_n(\mathbb{Z})$, a-t-on $\left( \text{det}(A) \wedge \text{det}(B) = 1 \right) \Rightarrow \left( \exists U,V\in\mathscr{M}_n(\mathbb{Z}), AU + BV = I_n \right)$ ?
SPOILER:
Notons $ a = \mathrm{det}(A), b = \mathrm{det}(B) $, soient u,v entiers tels que $ au + bv = 1 $
Alors en multipliant l'égalité par $ I_n $ on obtient :
$ u\cdot aI_n + v\cdot bI_n = I_n $
Puis en utilisant $ aI_n =A {}^{t}(\mathrm{com} A) $ et une formule similaire pour $ bI_n $ on obtient :
$$ A\left( u{}^t(\mathrm{com} A)\right) + B\left(v{}^t(\mathrm{com}B)\right) = I_n $$
Puis on remarque que la comatrice d'une matrice à coefficients entiers est aussi à coefficients entiers, donc on a le résultat voulu :D
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Mamoun1
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Re: Exercices de MPSI

Message par Mamoun1 » mer. juin 05, 2019 2:29 am

viewtopic.php?f=3&t=70833
A propos de l'exercice évoqué dans ce thread , on peut prouver l'existence d'un x tel que f(x)=g(x) , mais non de l'existence d'un point fixe commun , ma mémoire m'avait trahi, la preuve étant pas mal je la mets ici quand même .
Pour cela on considère la fonction h=f-g qui est continue sur [0,1] , Im(h)=[a,b] , puis on prouve que tout x dans [0,1] pour tout n dans N on obtient par récurrence que na<= f^n-g^n<=nb , cela permet d obtenir na<=1 et nb>=-1 , ce qui donne a<=0<=b , on peut donc appliquer le tvi à h , pour en déduire l'existence de x tel que h(x)=0 donc f(x)=g(x)

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