Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Chronoxx
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Chronoxx » mar. juin 04, 2019 9:43 pm

Algèbre : :)
Pour toutes matrices $A,B\in\mathscr{M}_n(\mathbb{Z})$, a-t-on $\left( \text{det}(A) \wedge \text{det}(B) = 1 \right) \Rightarrow \left( \exists U,V\in\mathscr{M}_n(\mathbb{Z}), AU + BV = I_n \right)$ ?
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antoine311200
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par antoine311200 » mar. juin 04, 2019 10:45 pm

Simon Billouet a écrit :
mar. juin 04, 2019 5:46 am
Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.
Bonjour, j'ai eu cet exercice en colle pendant l'année :
SPOILER:
Supposons que $ (u_n) $ ne converge pas, alors il existe $ \epsilon > 0 $ tel que pour tout $ n \in \mathbb{N} $, il existe $ n_1 \geq n $ tel que $ \mid u_{n_1} - L\mid > \epsilon $

Considérons l'ensemble $ A = \{n \in \mathbb{N}, \mid u_n - L\mid > \epsilon \} $, cet ensemble est infini. En effet, si $ A $ était fini, il admetterait un plus grand élément, notons le $ M $. Or d'après l'hypothèse, on aurait l'existence de $ n_2 > M $ tel que $ \mid u_{n_2} - L\mid > \epsilon $ et c'est absurde car $ n_2 \in A $ par définition.

Ensuite, on peut alors construire une application $ \varphi : \mathbb{N} \rightarrow A $ strictement croissant. Alors, pour tout $ n \in \mathbb{N}, \mid u_{\varphi(n)} - L\mid > \epsilon $.
De plus, cette suite extraite est bornée car $ (u_n) $ l'est aussi. Ainsi, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous-suite convergente vers un entier $ l $, notons là $ (u_{\psi(n)}) $.

Par extension, pour tout $ n \in \mathbb{N}, \mid u_{\psi(n)} - L\mid > \epsilon $. En passant à la limite, on obtient la relation suivante qui va nous permettre de conclure :
$ \mid l - L \mid \geq \epsilon $ i.e $ l \not= L $

Cela prouve l'existence de deux limites différentes au sein des sous-suites de $ (u_n) $ (on parle de valeurs d'adhérence, la suite $ (u_n) $ en admet alors au moins deux). C'est absurde !

Donc $ (u_n) $ converge !
Modifié en dernier par antoine311200 le mer. juin 05, 2019 5:35 pm, modifié 1 fois.
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Errys
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Errys » mar. juin 04, 2019 11:01 pm

Chronoxx a écrit :
mar. juin 04, 2019 9:43 pm
Algèbre : :)
Pour toutes matrices $A,B\in\mathscr{M}_n(\mathbb{Z})$, a-t-on $\left( \text{det}(A) \wedge \text{det}(B) = 1 \right) \Rightarrow \left( \exists U,V\in\mathscr{M}_n(\mathbb{Z}), AU + BV = I_n \right)$ ?
SPOILER:
Notons $ a = \mathrm{det}(A), b = \mathrm{det}(B) $, soient u,v entiers tels que $ au + bv = 1 $
Alors en multipliant l'égalité par $ I_n $ on obtient :
$ u\cdot aI_n + v\cdot bI_n = I_n $
Puis en utilisant $ aI_n =A {}^{t}(\mathrm{com} A) $ et une formule similaire pour $ bI_n $ on obtient :
$$ A\left( u{}^t(\mathrm{com} A)\right) + B\left(v{}^t(\mathrm{com}B)\right) = I_n $$
Puis on remarque que la comatrice d'une matrice à coefficients entiers est aussi à coefficients entiers, donc on a le résultat voulu :D
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Mamoun1
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Re: Exercices de MPSI

Message par Mamoun1 » mer. juin 05, 2019 2:29 am

viewtopic.php?f=3&t=70833
A propos de l'exercice évoqué dans ce thread , on peut prouver l'existence d'un x tel que f(x)=g(x) , mais non de l'existence d'un point fixe commun , ma mémoire m'avait trahi, la preuve étant pas mal je la mets ici quand même .
Pour cela on considère la fonction h=f-g qui est continue sur [0,1] , Im(h)=[a,b] , puis on prouve que tout x dans [0,1] pour tout n dans N on obtient par récurrence que na<= f^n-g^n<=nb , cela permet d obtenir na<=1 et nb>=-1 , ce qui donne a<=0<=b , on peut donc appliquer le tvi à h , pour en déduire l'existence de x tel que h(x)=0 donc f(x)=g(x)

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Re: Exercices de MPSI

Message par Errys » mer. juin 05, 2019 11:26 am

Soit $ C $ l'ensemble des fonctions continues positives de $ [0,1]\to\mathbb{R} $.
On prend $ u\in C $ et on considère la fonction T qui à $ f\in C $ associe $ \left(\int_0^1 f, \int_0^1 f\times u\right) $
Trouver l'image de C par T.
Soit E un $ \mathbb{C} $ espace vectoriel de dimension n. $ G $ un sous-groupe fini de $ GL(E) $
$ F =\cap_{g\in G} \ker g-\mathrm{Id} $. Montrer :
$$ \mathrm{dim} F = \dfrac{1}{|G|} \sum_{g\in G}\mathrm{Tr}(g) $$
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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » mer. juin 05, 2019 11:35 am

Mamoun1 a écrit :
mer. juin 05, 2019 2:29 am
viewtopic.php?f=3&t=70833
A propos de l'exercice évoqué dans ce thread , on peut prouver l'existence d'un x tel que f(x)=g(x) , mais non de l'existence d'un point fixe commun , ma mémoire m'avait trahi, la preuve étant pas mal je la mets ici quand même .
Pour cela on considère la fonction h=f-g qui est continue sur [0,1] , Im(h)=[a,b] , puis on prouve que tout x dans [0,1] pour tout n dans N on obtient par récurrence que na<= f^n-g^n<=nb , cela permet d obtenir na<=1 et nb>=-1 , ce qui donne a<=0<=b , on peut donc appliquer le tvi à h , pour en déduire l'existence de x tel que h(x)=0 donc f(x)=g(x)
Plus simplement par l absurde on peut supposer f>g. Soit x le plus petit point fixe (possible par continuité) de f, g(x) en est aussi un et g (x)<f (x)=x contradiction.

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Re: Exercices de MPSI

Message par Mamoun1 » mer. juin 05, 2019 1:06 pm

Soit E un $ \mathbb{C} $ espace vectoriel de dimension n. $ G $ un sous-groupe fini de $ GL(E) $
$ F =\cap_{g\in G} \ker g-\mathrm{Id} $. Montrer :
$$ \mathrm{dim} F = \dfrac{1}{|G|} \sum_{g\in G}\mathrm{Tr}(g) $$
On considère la matrice S=1/Card(G) * ( somme M pour M dans G) et on prouve que S²=S , donc S est un projecteur. On prend la trace Et on prouve que dim(F)=rg(S)

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Message par Dattier » jeu. juin 06, 2019 3:13 pm

La série des restes d'une série alternée, est-elle alternée ?

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Hicham alpha
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Re: Exercices de MPSI

Message par Hicham alpha » jeu. juin 06, 2019 8:54 pm

Dattier a écrit :
jeu. juin 06, 2019 3:13 pm
La série des restes d'une série alternée, est-elle alternée ?
Bonjour
Je pense que ce n'est pas toujours alternée ( ca depend de la série alternée initiale (si elle vérifie le critère spécial des series alternées alors la série des restes est forcement alternée. sinon, on peut rien dire, ca depend de la serie :shock: ) :( est-ce vrai ?

par exemple, si on prend la serie de terme general : $ Un = \frac{(-1)^{n-1}}{(-1)^n + n} $, alors elle est alternée et convergente, mais je pense pas que sa serie des restes est alternée aussi :?
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Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » jeu. juin 06, 2019 9:03 pm

Bonjour,

Bravo.
Dans ce cas le reste est soit nul, soit un réel non nul, ce qui ne peut constituer une série alternée (la valeur absolue ne décroit pas).

édit
SPOILER:
Je ne suis pas sûr que cela marche avec ce que tu proposes
le contre-exemple que j'avais en tête est $\dfrac{(-1)^n}{E((n+2)/2)}$

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Hicham alpha
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Re: Exercices de MPSI

Message par Hicham alpha » jeu. juin 06, 2019 10:06 pm

Dattier a écrit :
jeu. juin 06, 2019 9:03 pm
SPOILER:
Je ne suis pas sûr que cela marche avec ce que tu proposes
le contre-exemple que j'avais en tête est $\dfrac{(-1)^n}{E((n+2)/2)}$
Merci beaucoups.
Ça marche bien.
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Naelvicoz » sam. juin 08, 2019 8:08 pm

Je ne trouve pas celui là
Trouver une série $ \sum u_n $ de réels positifs qui converge mais telle que $ (u_n) $ n'est pas un $ o(1/n) $

Nabuco
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Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Nabuco » sam. juin 08, 2019 8:15 pm

Naelvicoz a écrit :
sam. juin 08, 2019 8:08 pm
Je ne trouve pas celui là
Trouver une série $ \sum u_n $ de réels positifs qui converge mais telle que $ (u_n) $ n'est pas un $ o(1/n) $
Tu peux essayer de prendre une suite u_n avec de grosses lacunes c est à dire pas mal de termes nuls et des termes d une série convergente assez espacé pour avoir la condition voulue

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Re: Exercices de MPSI

Message par Errys » dim. juin 09, 2019 11:12 am

Soit $ G $ un sous-groupe additif strict de $ \mathbb{R} $. Montrer que son complémentaire est dense dans $ \mathbb{R} $.
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Inversion
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Re: Exercices de MPSI

Message par Inversion » dim. juin 09, 2019 2:55 pm

Bonjour, si je ne dis pas de bêtise :
Errys a écrit :
dim. juin 09, 2019 11:12 am
Soit $ G $ un sous-groupe additif strict de $ \mathbb{R} $. Montrer que son complémentaire est dense dans $ \mathbb{R} $.
SPOILER:
Supposons par l'absurde que le complémentaire de $G$ dans $\mathbb{R}$ ne soit pas dense dans $\mathbb{R}$. Alors il existe $a<b$ des réels tels que tout $x$ compris entre $a$ et $b$ n'est pas dans le complémentaire de $G$ dans $\mathbb{R}$. Ainsi on a $[a,b]$ inclus dans $G$. Montrons qu'alors on a $G=\mathbb{R}$. Puisque $a \in G$ et $b \in G$ on a $b-a \in G$. Soit $y \in \mathbb{R}$. Notons $r= (y \text{ mod } (b-a))$. On a $r=(r+a)-a$ avec $r+a \in [a,b]$ donc $r \in G$. Alors il existe $n \in \mathbb{Z}$ tel que $y=n(b-a)+r$ donc $y \in G$. Comme $y$ est un réel arbitraire on en déduit $G=\mathbb{R}$, ce qui est absurde car $G$ était supposé être un sous-groupe strict de $(\mathbb{R},+)$.
Bonne journée.
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