Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 0

Inscription : 16 juin 2017 19:44

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Mathoss » 04 juin 2019 20:40

Chronoxx a écrit :
04 juin 2019 20:23
Simon Billouet a écrit :
04 juin 2019 05:46
Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.
SPOILER:
La première idée qui me vient, c'est d'itérer BW successivement sur chaque sous-suite jusqu'à "l'épuisement" de tous les termes de la suite. Si un nombre fini d'itération suffit, alors $u$ converge vers $L$. Si un nombre infini de fois est nécessaire, on peut se débrouiller pour ranger tous les termes restants dans une des sous-suites.
Désolé, je suis sur mon téléphone et Latex c'est un peu galère, j'essayerai de formaliser ça :mrgreen:
Taboutiras pas comme ça puisque quand t'extrais une suite, t'as tjrs un nombre infini dénombrable de termes à chaque itération ^^
Cherche vraiment par l'absurde, ça se voit bien avec un dessin
2016-2017 TS Spé Maths
2017-2018 MPSI Condorcet
2018-2019 MP* Condorcet
2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques

Messages : 5

Inscription : 17 nov. 2017 20:53

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Chronoxx » 04 juin 2019 20:43

My bad, je vois que ça coince quand j'essaie de formaliser. Faut prendre mon précédent message comme une simple idée spontanée :)
Dernière modification par Chronoxx le 04 juin 2019 20:59, modifié 3 fois.
2018-2020 : MPSI/MP H4
X2020

<AQT> $   \frac{\pi}{17} $ </AQT>

Messages : 0

Inscription : 17 sept. 2017 22:09

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Nabuco » 04 juin 2019 20:47

Chronoxx a écrit :
04 juin 2019 20:43
Oui mais si, après extraction, il te reste un nombre fini de termes, tu peux les "ajouter" à ta suite extraite qui ne modifie pas la nature de la suite extraite ?

Après, par l'absurde, ça doit bien marcher aussi ^^
pas de raison d'avoir un nombre fini de termes après extraction successive (typiquement tes extractions ne pourraient que toucher les termes pairs...

Messages : 0

Inscription : 10 nov. 2018 02:20

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Hicham alpha » 04 juin 2019 20:51

Chronoxx a écrit :
04 juin 2019 20:43
Oui mais si, après extraction, il te reste un nombre fini de termes, tu peux les "ajouter" à ta suite extraite qui ne modifie pas la nature de la suite extraite ?
Mais, qu'est ce que nous assure qu'il va nous rester un nombre fini de termes ?
puisque on veut épuiser l'infini (infinité des termes ) par l'infini ( infinité d'itération), cela s'avère un peu compliqué :oops:
peut etre, on aura jamais des termes restants finis :shock:

bonne journée

Messages : 5

Inscription : 17 nov. 2017 20:53

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Chronoxx » 04 juin 2019 21:22

Nabuco a écrit :
04 juin 2019 20:47
pas de raison d'avoir un nombre fini de termes après extraction successive (typiquement tes extractions ne pourraient que toucher les termes pairs...
Je parlais du cas particulier où il restait un nombre fini de termes (je me suis mal exprimé, j'ai très mal placé le "si" conditionnel dans ma précédente phrase).

Quoi qu'il en soit, ça se fait bien par l'absurde.
C'était juste une idée ^^
2018-2020 : MPSI/MP H4
X2020

<AQT> $   \frac{\pi}{17} $ </AQT>

Messages : 5

Inscription : 17 nov. 2017 20:53

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Chronoxx » 04 juin 2019 21:43

Algèbre : :)
Pour toutes matrices $A,B\in\mathscr{M}_n(\mathbb{Z})$, a-t-on $\left( \text{det}(A) \wedge \text{det}(B) = 1 \right) \Rightarrow \left( \exists U,V\in\mathscr{M}_n(\mathbb{Z}), AU + BV = I_n \right)$ ?
2018-2020 : MPSI/MP H4
X2020

<AQT> $   \frac{\pi}{17} $ </AQT>

Messages : 0

Inscription : 28 mai 2018 21:29

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par antoine311200 » 04 juin 2019 22:45

Simon Billouet a écrit :
04 juin 2019 05:46
Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.
Bonjour, j'ai eu cet exercice en colle pendant l'année :
SPOILER:
Supposons que $ (u_n) $ ne converge pas, alors il existe $ \epsilon > 0 $ tel que pour tout $ n \in \mathbb{N} $, il existe $ n_1 \geq n $ tel que $ \mid u_{n_1} - L\mid > \epsilon $

Considérons l'ensemble $ A = \{n \in \mathbb{N}, \mid u_n - L\mid > \epsilon \} $, cet ensemble est infini. En effet, si $ A $ était fini, il admetterait un plus grand élément, notons le $ M $. Or d'après l'hypothèse, on aurait l'existence de $ n_2 > M $ tel que $ \mid u_{n_2} - L\mid > \epsilon $ et c'est absurde car $ n_2 \in A $ par définition.

Ensuite, on peut alors construire une application $ \varphi : \mathbb{N} \rightarrow A $ strictement croissant. Alors, pour tout $ n \in \mathbb{N}, \mid u_{\varphi(n)} - L\mid > \epsilon $.
De plus, cette suite extraite est bornée car $ (u_n) $ l'est aussi. Ainsi, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous-suite convergente vers un entier $ l $, notons là $ (u_{\psi(n)}) $.

Par extension, pour tout $ n \in \mathbb{N}, \mid u_{\psi(n)} - L\mid > \epsilon $. En passant à la limite, on obtient la relation suivante qui va nous permettre de conclure :
$ \mid l - L \mid \geq \epsilon $ i.e $ l \not= L $

Cela prouve l'existence de deux limites différentes au sein des sous-suites de $ (u_n) $ (on parle de valeurs d'adhérence, la suite $ (u_n) $ en admet alors au moins deux). C'est absurde !

Donc $ (u_n) $ converge !
Dernière modification par antoine311200 le 05 juin 2019 17:35, modifié 1 fois.
Belike, for want of rain, which I could well
Beteem them from the tempest of my eyes

Messages : 0

Inscription : 04 oct. 2017 15:58

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Approfondissement cours MPSI

Message par Errys » 04 juin 2019 23:01

Chronoxx a écrit :
04 juin 2019 21:43
Algèbre : :)
Pour toutes matrices $A,B\in\mathscr{M}_n(\mathbb{Z})$, a-t-on $\left( \text{det}(A) \wedge \text{det}(B) = 1 \right) \Rightarrow \left( \exists U,V\in\mathscr{M}_n(\mathbb{Z}), AU + BV = I_n \right)$ ?
SPOILER:
Notons $ a = \mathrm{det}(A), b = \mathrm{det}(B) $, soient u,v entiers tels que $ au + bv = 1 $
Alors en multipliant l'égalité par $ I_n $ on obtient :
$ u\cdot aI_n + v\cdot bI_n = I_n $
Puis en utilisant $ aI_n =A {}^{t}(\mathrm{com} A) $ et une formule similaire pour $ bI_n $ on obtient :
$$ A\left( u{}^t(\mathrm{com} A)\right) + B\left(v{}^t(\mathrm{com}B)\right) = I_n $$
Puis on remarque que la comatrice d'une matrice à coefficients entiers est aussi à coefficients entiers, donc on a le résultat voulu :D
Lycée Édouard Branly 2015-2018
LLG HX1 2018-2019
LLG MP*3 2019-2020
Ulm 2020-?

Messages : 0

Inscription : 29 juin 2018 13:56

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exercices de MPSI

Message par Mamoun1 » 05 juin 2019 02:29

http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=70833
A propos de l'exercice évoqué dans ce thread , on peut prouver l'existence d'un x tel que f(x)=g(x) , mais non de l'existence d'un point fixe commun , ma mémoire m'avait trahi, la preuve étant pas mal je la mets ici quand même .
Pour cela on considère la fonction h=f-g qui est continue sur [0,1] , Im(h)=[a,b] , puis on prouve que tout x dans [0,1] pour tout n dans N on obtient par récurrence que na<= f^n-g^n<=nb , cela permet d obtenir na<=1 et nb>=-1 , ce qui donne a<=0<=b , on peut donc appliquer le tvi à h , pour en déduire l'existence de x tel que h(x)=0 donc f(x)=g(x)

Messages : 0

Inscription : 04 oct. 2017 15:58

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exercices de MPSI

Message par Errys » 05 juin 2019 11:26

Soit $ C $ l'ensemble des fonctions continues positives de $ [0,1]\to\mathbb{R} $.
On prend $ u\in C $ et on considère la fonction T qui à $ f\in C $ associe $ \left(\int_0^1 f, \int_0^1 f\times u\right) $
Trouver l'image de C par T.
Soit E un $ \mathbb{C} $ espace vectoriel de dimension n. $ G $ un sous-groupe fini de $ GL(E) $
$ F =\cap_{g\in G} \ker g-\mathrm{Id} $. Montrer :
$$ \mathrm{dim} F = \dfrac{1}{|G|} \sum_{g\in G}\mathrm{Tr}(g) $$
Lycée Édouard Branly 2015-2018
LLG HX1 2018-2019
LLG MP*3 2019-2020
Ulm 2020-?

Répondre