Exercices de MPSI

[Errys]

Pour montrer la réciproque, voici une idée en utilisant une suite de fonctions :

SPOILER:

Soit $ A $ un ensemble au plus dénombrable :

- Si A est fini :
On numérote les éléments de $ A $ : $ (x_1, x_2,\ldots, x_n) $ de sorte à ce que $ x_1<x_2<\ldots<x_n $.
On découpe $ \mathbb{R} $ en $ n+1 $ intervalles : $ ]-\infty; x_1[ $, $ ]x_1, x_2[ $, $ \dots $, $ ]x_n,\infty[ $
On pose $ f(x_i) = i $ pour tout entier $ i $ entre 1 et n. Et sinon, pour tout $ x\in\mathbb{R}\setminus A $, soit $ i $ le plus grand entier tel que $ x_i<x $, $ f(x) = i $.
$ f $ est comme la fonction partie entière donc continue partout sauf sur A et croissante.

- Sinon,
Soit $ (f_n) $ une suite de fonction croissantes. Soit $ g $ une bijection de $ \mathbb{N} $ dans A.
Pour tout $ n\in\mathbb{N} $, on pose $ A_n = \{g(0), \ldots,g(n)\} $. $ A_n $ est fini donc on reprend la fonction $ f $ construite dans le premier paragraphe pour $ f_n $.

Comme $ \lim\limits_{n\to+\infty} A_n = A $, la fonction $ f = \lim\limits_{n\to+\infty}f_n $ convient.

Je ne suis pas du tout sûr d'avoir le droit de faire cela mais bon... Qui ne tente rien n'a rien !

[Errys]

Pas mal !

SPOILER:

D'habitude pour faire cet exercice à tout x dans A on associe q_x rationnel compris strictement entre la limite à gauche et la limite à droite de f en A (différentes par discontinuité en x et croissance) et on a une injection de A dans Q (par croissance de f) mais ce que tu as fait marche aussi

Comme tu t'en doutes, la réciproque nécessite de construire des fonctions très moches (par exemple si A = Q) ^^ donc ne se fait pas avant la sup (voire la spé pour l'exo posé comme ça), mais je pourrai te l'expliquer si tu veux

J'en ajoute un : soit f de R dans lui même, on appelle maximum local strict de f un point x tel qu'il existe un (petit) intervalle ouvert contenant x sur lequel f a un maximum global strict en x. Montrer que l'ensemble des maxima locaux stricts de f est au plus dénombrable

Sympa la solution avec les rationnels ! Merci
Je veux bien que tu me l'expliques si tu as le temps, cet exercice est intéressant. Merci aussi pour l'exercice.

[Zetary]

Voilà l'explication :

SPOILER:

On note f l'indicatrice de $ \mathbb{R}^*_+ $. Si A est fini c'est immédiat avec $ x \mapsto \sum_{a\in A} f(x-a) $. Si A est dénombrable on l'énumère avec une suite $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} $ et on pose $$ g(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f(x-a_n)}{2^n} $$(la suite des sommes partielles converge pour tout x car est croissante et bornée par $ \sum_{n=1}^{+\infty} 1/2^n = 2 $). g est croissante comme somme de fonctions croissantes. De plus pour tout $ n\in\mathbb{N},\epsilon>0 $ on a $$ g(a_n+\epsilon)-g(a_n) = \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{f(a_n+\epsilon-a_m) - f(a_n-a_m)}{2^n}\geq \frac{f(\epsilon)-f(0)}{2^n} = \frac{1}{2^n} $$ (en ne gardant que le terme d'indice n), donc g ne peut être continue en $ a_n $.

(en réalité on peut montrer que g est continue en tous les points qui ne sont pas dans A)

[JeanN]

Ça serait sympa de poster ces exos dans le fil des exos de spé.
Merci d’avance

[Errys]

Voilà l'explication :

SPOILER:

On note f l'indicatrice de $ \mathbb{R}^*_+ $. Si A est fini c'est immédiat avec $ x \mapsto \sum_{a\in A} f(x-a) $. Si A est dénombrable on l'énumère avec une suite $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} $ et on pose $$ g(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f(x-a_n)}{2^n} $$(la suite des sommes partielles converge pour tout x car est croissante et bornée par $ \sum_{n=1}^{+\infty} 1/2^n = 2 $). g est croissante comme somme de fonctions croissantes. De plus pour tout $ n\in\mathbb{N},\epsilon>0 $ on a $$ g(a_n+\epsilon)-g(a_n) = \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{f(a_n+\epsilon-a_m) - f(a_n-a_m)}{2^n}\geq \frac{f(\epsilon)-f(0)}{2^n} = \frac{1}{2^n} $$ (en ne gardant que le terme d'indice n), donc g ne peut être continue en $ a_n $.

(en réalité on peut montrer que g est continue en tous les points qui ne sont pas dans A)

Merci pour l'explication, j'aime bien cette solution.

Ça serait sympa de poster ces exos dans le fil des exos de spé.
Merci d’avance

On peut se déplacer si il faut mais je pense que ça peut plaire à des élèves de ts (comme moi), les exercices ne demandent pas non plus beaucoup de connaissances, ils peuvent être résolus en cherchant 2-3 définitions.

[Desert]

Euh...

[JeanN]

Un terminale a le droit de participer à tous les fils d’exos qu’il souhaite.
Merci de poster les futurs exos au bon endroit sinon je modère sauvagement

[matmeca_mcf1]

Pourrais-je avoir un lien vers le fil d'exos de spé? Je n'arrive pas à le trouver. Et est-ce que les exercices des concours généraux des années 90 sont OK pour ce fil.

[Saber]

http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... start=6450

[matmeca_mcf1]

Un vieil exercice de terminale: je ne sais pas s'il est encore faisable vu le peu de géométrie dans les programmes:

Soit A et B deux points du plans et D une droite. A et B étant tous les deux situés dans le même demi-plan délimité par D et n'appartenant pas à la droite D. Construire à la règle et au compas le point M appartenant à D tel que l'angle géométrique entre MA et D soit le double de l'angle géométrique entre MB et D.