Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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ticotanar
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par ticotanar » lun. août 03, 2015 8:35 pm

Ouais ça va ^^ juste un peu rapide la fin (et rédigé de façon maladroite ^^), faut peut être justier qu'une telle solution est continue en 0 (Ok c'est un limite de cours) et ailleurs c'est évident.
Tu peux conclure que les solutions sont { x->0 si x=0 ,x-> Cte * x *ln|x| sinon}.
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Alexis73
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Alexis73 » lun. août 03, 2015 8:56 pm

Oui oui j'ai abrégé la fin !
Merci beaucoup en tout cas :)

spemaths
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par spemaths » lun. août 03, 2015 10:11 pm

Un truc sympa de pré rentrée :

1) Soit f et g 2 fonctions n fois dérivables. Montrer la formule de Leibniz :
$ (f.g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)} $

2) En dérivant n fois la fonction $ x \to x^{2n} $ donner une expression simple de
$ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 $

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brank
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par brank » mar. août 04, 2015 8:27 am

Tu trouves cet exo sympa ?
C'est une fiotte.

kwalkwalkwal
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par kwalkwalkwal » mar. août 04, 2015 9:56 am

Moi je le trouve plutôt sympa, surtout la question 2 qui est une belle application de la question 1 :)

D'ailleurs quelqu'un avait réfléchit à l'exo 3 du Cassini des futurs MPSI ? Personnellement j'ai trouvé une solution mais elle est assez dure à rédiger !
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Magnéthorax

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Magnéthorax » mar. août 04, 2015 10:34 am

Bonjour Atoine-,

Antoine- a écrit :Exercice 1.b

$ \forall t\in \left [ 0;1 \right ], 0\leq t^{n+1}\leq t^{n}\Leftrightarrow 1\leq I_{n+1}\leq I_n $. $ (I_n) $ décroissante et minorée par 1 donc convergente vers un réel $ l\geq 1 $.
Posons $ u = t^{n} $. $ \forall t\in \left [ 0;1 \right ], t^{n}=u\in \left [ 0;1 \right ] $ et d'après 1.a, $ \forall u\in \left [ 0;1 \right ], e^{0}\leq e^{u}\leq 1 + (e-1)t^{n} \Leftrightarrow 1\leq \ In \leq 1 + \frac{e-1}{n+1} $ donc d'après le théorème d'encradrement, $ In \rightarrow 1 $.

Je vous avoue que pour le 2 j'en ai aucune idée.


Je me permets de vous conseiller de laisser tomber momentanément les quantificateurs. Ce n'est pas qu'un problème de rédaction, c'est un problème de logique. A ce titre, vous pouvez être assez lourdement pénalisé. Rédigez plutôt en Français en utilisant des connecteurs logiques comme "donc".

Kallio
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Kallio » mar. août 04, 2015 12:27 pm

Bonjour, j'ai pas vraiment réfléchi à ça au moment d'écrire la réponse je voulais surtout faire une réponse courte, mais merci du conseil ! Pour vous quel est le problème précisément ?
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par ~Syna~ » mar. août 04, 2015 1:03 pm

Si ne je dis pas de bêtises, quand tu intègres, la conservation de l'ordre est une implication simple et pas une équivalence.
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Magnéthorax

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Magnéthorax » mar. août 04, 2015 2:30 pm

Antoine- : en fait vous pouvez aussi donner une réponse courte sans utiliser le moindre quantificateur. Tout dépend du niveau de détail que vous souhaitez transmettre au lecteur.

Je pense que l'usage du Français permet dans un premier temps d'éviter les erreurs de logique du style remplacer un $ \Rightarrow $ par un $ \Leftrightarrow $.

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Kallio » mar. août 04, 2015 3:14 pm

Ah oui pardon pour les deux équivalences ! Peut-être que je pourrais essayer vous envoyer une réponse rédigée un peu différemment par mp pour voir si il y a toujours des erreurs de logique ?
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par youyou7 » mar. août 04, 2015 8:37 pm

Si f est monotone et surjective, f est-elle nécessairement continue ?

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into44
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par into44 » mar. août 04, 2015 8:45 pm

Oui, la contraposée se montre bien avec un th de la limite monotone.
SPOILER:
f croissante par ex
supposons f non continue
prenons f est discontinue en x=a à gauche par exemple
alors sa limite à gauche est forcément strictement inférieure, appelons là c (si elle était égale, f serait continue à gauche)
soit b€]c,f(a)[
b n'est jamais atteint par f, puisqu'après a toutes les valeurs prises par f sont supérieures à f(a) et avant, inférieures à c
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Magnéthorax

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Magnéthorax » mar. août 04, 2015 9:35 pm

Antoine- : il y a aussi le problème lié à l'introduction des objets... Il serait un peu fastidieux d'expliquer ici tout ce qui ne va pas dans votre rédaction initiale.

Sortant du lycée, cela n'a rien d'alarmant. Vous corrigerez le tir progressivement.

Pour vous donner une idée de ce vers quoi il faut s'efforcer de tendre vous pouvez lire :

http://bkristof.free.fr/methodologie/Pe ... action.pdf

Kallio
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Kallio » mar. août 04, 2015 9:45 pm

Ok merci !
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Mikihisa
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Mikihisa » mer. août 05, 2015 12:47 pm

Vrai ou Faux

Une fonction dont la dérivée est nulle est-elle nécessairement constante ? Donnez un contre-exemple

SPOILER:
C'est un problème de domaine de définition, cette question prouve l'importance de toujours bien préciser le domaine de définition lorsque l'ont parle de fonctions.
2015-2016 : BEP vente

$ (\frac{p}{q})(\frac{q}{p}) = \scriptstyle(-1)^{\scriptscriptstyle \epsilon(p)\epsilon(q)} $

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