Exercices de MPSI

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Oka

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Oka » 25 janv. 2016 17:53

donc ça pourrait etre 1 ? :mrgreen:

wallissen

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par wallissen » 25 janv. 2016 18:11

Exercice 100% astucieux mais jolie je trouve

Existe t-il deux nombres irrationnels positifs $ a $ et $ b $ tels que $ a^b $ soit rationnel ?

mathophilie

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » 25 janv. 2016 19:25

wallissen a écrit :Exercice 100% astucieux mais jolie je trouve

Existe t-il deux nombres irrationnels positifs $ a $ et $ b $ tels que $ a^b $ soit rationnel ?
Il en existe même une infinité :D
SPOILER:
Instinctivement on a envie de partir sur les racines, parce que pi et e ils sont mignons mais bon :lol:

Ce qui nous arrangerait c'est qu'une racine ou une expression mettant en jeu des racines soit élevée à une puissance paire de sorte à obtenir un entier. Donc il serait sympa que le nombre a soit une racine irrationnelle élevé à une puissance n égale à la racine irrationnelle d'un nombre pair (au sens où il faut pas prendre racine de 4...), et le nombre b soit la puissance n mise en jeu dans a, de sorte à avoir b² un nombre entier pair, et donc $ a^b^2 $ un entier.

Ainsi par exemple $ \sqrt{2}^{\sqrt{2}} $ est irrationnel. En l'élevant à la puissance $ \sqrt{2} $ , il vient : $ \sqrt{2}^{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^2} = 2 $

De même, avec $ a = \sqrt{3}^{\sqrt{6}} $ et $ b = \sqrt{6}, $ on a $ a^b = 27 $.

Donc il y en a une infinité.

Peut-être qu'il y a d'autres manières d'en construire, je n'ai trouvé que celle là :roll: :oops:

rabhix98

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par rabhix98 » 25 janv. 2016 19:46

Je reformule ma question (il y'avait une erreur d'énoncé :P )
Montrer que pour tout n entier supérieur ou égal à trois, il existe une suite d'entiers positifs distincts deux à deux tels que la somme de leur inverses vaut 1.

Oka

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Oka » 25 janv. 2016 19:49

mathophilie a écrit :Ainsi par exemple $ \sqrt2^{\sqrt2} $est irrationnel
y a une demo simple de ça ?

guidito

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par guidito » 25 janv. 2016 19:49

Ainsi par exemple $ \sqrt{2}^{\sqrt{2}} $ est irrationnel.
Comment prouver que $ \sqrt{2}^{\sqrt{2}} $ est irrationnel ? :o
SPOILER:
Ce qui est marrant dans cet exercice est qu'on peut le résoudre sans même statuer sur l'irrationalité de $ \sqrt{2}^{\sqrt{2}} $. Car si $ \sqrt{2}^{\sqrt{2}} $ est rationnel alors on aura un exemple avec $ a=b=\sqrt{2} $, s'il est irrationnel alors il suffit de l'élever à la puissance $ \sqrt{2} $ comme tu l'as fait.

guidito

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par guidito » 25 janv. 2016 19:56

rabhix98 a écrit :Je reformule ma question (il y'avait une erreur d'énoncé :P )
Montrer que pour tout n entier supérieur ou égal à trois, il existe une suite d'entiers positifs distincts deux à deux tels que la somme de leur inverses vaut 1.
J'ai l'impression que ce n'est pas encore assez bien reformulé...

rabhix98

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par rabhix98 » 25 janv. 2016 19:57

wallissen a écrit :Exercice 100% astucieux mais jolie je trouve

Existe t-il deux nombres irrationnels positifs $ a $ et $ b $ tels que $ a^b $ soit rationnel ?
SPOILER:
IL suffit de poser $ a=(\frac{p}{q} )^(\frac{1}{\sqrt[n]{c} }) $ et $ b=\sqrt[n]{c} $ avec p, q , c et n entiers

wallissen

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par wallissen » 25 janv. 2016 20:00

mathophilie, J'allais poser la même question que oka :mrgreen:
Mais comme le dit guidito, tu peux prendre le problème en l'envers avec l'exemple adéquat ( doù 100% astucieux ^^ ) et retrouver les nombres comme tu l'as fait :)

wallissen

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par wallissen » 25 janv. 2016 20:04

rabhix98 a écrit :
wallissen a écrit :Exercice 100% astucieux mais jolie je trouve

Existe t-il deux nombres irrationnels positifs $ a $ et $ b $ tels que $ a^b $ soit rationnel ?
SPOILER:
IL suffit de poser $ a=(\frac{p}{q} )^(\frac{1}{\sqrt[n]{c} }) $ et $ b=\sqrt[n]{c} $ avec p, q , c et n entiers
On est confronté au même problème que précédemment, comment tu vas prouver que le nombre $ a^b $ est rationnel :mrgreen:

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