Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Zrun
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Re: Exercices de MPSI

Message par Zrun » mer. juil. 25, 2018 11:44 am

Sur les polynômes
SPOILER:
Le corps des réels étant infini, on identifie polynôme et fonctions polynomiales
a) Notons \( x_1<x_2<...<x_n \) les n racines réelles dû polynômes P .
Alors d’après le théorème de Rolle , la fonction P étant infiniment dérivable car polynomiale, on dispose de \( n-1 \) racines de P’ telles que \( x_1<y_1<x_2<...<y_{n-1}<x_n \). Or, puisque \( n\geq 2 \), P’ est de degré exactement n-1 . On a donc deg P’ racines réelles distinctes pour P’ et donc P’ est scindé à racines simples
b) En réitérant l’argument , on trouve que \( P^{(2)},..,P^{(n—1)} \)sont des polynômes non constant scindés à racines simples . Par l’absurde, si deux coefficients consécutifs sont nuls alors en notons \( k=min {i\in[|0;n-1|] / a_k=a_{k+1}=0} \), 0 est racine double de \( P^{(k)} \), absurde car \( k\leq n-1 \) et donc \( P^{(k)} \) est à racines simples ...
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Dattier
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Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » mer. juil. 25, 2018 11:47 am

@Erryss : Oui, tu as raison. Bien joué.
La patience est la constance ferme dans ses propos et son comportement en vue d'un objectif précis.

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gardener
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Re: Exercices de MPSI

Message par gardener » mer. juil. 25, 2018 11:48 am

Dattier a écrit :
mer. juil. 25, 2018 11:18 am
gardener a écrit :
mer. juil. 25, 2018 11:08 am
Il faut une hypothèse DSE sur la fonction pour conclure, je pense.
Pas besoin, en prenant \( g(x) \) fonction de $\mathbb R$ juste continue et périodique alors, $P(x)=g(x)\times x$ a des $A$ infinies correspondant quand $P(x)=m \times x$ avec $m\in g(\mathbb R)$
Pour espérer pouvoir conclure que \( P \) est constant, ou quelque chose dans ce goût là :)
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Re: Exercices de MPSI

Message par Zrun » mer. juil. 25, 2018 11:52 am

Un exercice avec peu de connaissance requise :
Soit f une fonction de N dans N telle que pour tout n dans N , f(n+1)>f(f(n)) . Trouver f .
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Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » mer. juil. 25, 2018 11:52 am

gardener a écrit :
mer. juil. 25, 2018 11:48 am
Pour espérer pouvoir conclure que \( P \) est constant, ou quelque chose dans ce goût là :)
En prenant f(x)=exp(x) DSE et A={1/n, n\in N} il n'y a pas de solution polynômiale, en effet il existe une propriété qui a été rappelée ici, de l'unicité, dans ces coniditions, de la fonction DSE (et un polynôme est DSE).
La patience est la constance ferme dans ses propos et son comportement en vue d'un objectif précis.

Samuel.A
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Re: Exercices de MPSI

Message par Samuel.A » mer. juil. 25, 2018 11:56 am

@Zrun c'est parfait !
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Errys
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Re: Exercices de MPSI

Message par Errys » mer. juil. 25, 2018 12:31 pm

Exercice de Zrun :
SPOILER:
On montre par une récurrence forte que \( f(n) = n \) pour tout \( n\in\mathbb{N} \).

Initialisation :
On montre que pour tout \( k > 0 \), \( f(k)>0 \). En effet, si \( f(k) = 0 \) alors \( f(k) > f(f(k-1)) \) donc \( f(f(k-1)<0 \) ce qui est absurde.
De plus, \( S = \{ f(k) : k\in\mathbb{N}^*\} \) est une partie non vide de \( \mathbb{N} \) donc admet un plus petit élément \( a \). Donc il existe \( k >0 \) tel que \( f(k) = a \). Or, \( f(k) > f(f(k-1)) \). Donc \( f(k-1) = 0 \) (sinon on arrive à une contradiction). D'où \( k-1=0 \) d'après ce qu'on a vu avant.
Ainsi, \( f(0) = 0 \) et pour tout entier \( k > 0 \), \( f(k) > f(0) \).

Hérédité :
Soit \( n\in\mathbb{N}^* \) tel que \( f(k) = k \) pour \( k < n \) et \( f(k) > f(n-1) \) pour \( k\ge n \).
Par le même raisonnement que dans l'initialisation, on montre que si \( k > n \) alors \( f(k) > n \). En effet, si \( f(k) = n \) alors \( f(k) > f(f(k-1)) \) soit \( f(f(k-1)) < n \). Or, \( f(k-1) \ge n \) donc \( f(f(k-1)) \ge n \) ce qui est absurde.
Donc \( f(k) > n \) pour \( k > n \).

De même, on montre que \( f(n) = n \). On pose \( S = \{ f(k) : k>n\} \). Qui admet un plus petit élément a et \( k>n \) tel que \( f(k) = a \). Or, \( f(k) > f(f(k-1)) \) d'où \( f(f(k-1)) < a \). Ainsi, \( f(k-1) \le n \) sinon on arrive à une contradiction. D'où \( f(k-1) = n \) car \( k-1 \ge n \). Ainsi, \( k-1=n \) et \( f(n) = n \).

D'après le principe de récurrence forte, \( f(n) = n \) pour tout entier \( n \).
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Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » mer. juil. 25, 2018 12:36 pm

l'exo de Zrun :
SPOILER:
1/ Montrons que \( f(n)\geq n \)
Par réccurence :
on a \( \forall i \geq 0, f(i)\geq 0 \)
Supposons $\forall i \geq n , f(i)\geq n$ alors $\forall k\geq n, f(f(k)) \geq n $ donc soit $k\geq n+1$, $k=u+1$ avec $u\geq n$ alors $f(k)=f(u+1)\geq f(f(u))+1\geq n+1$

2/ Montrons que \( f \) est injective
On a $f(n+1)\geq f(f(n))+1 \geq f(n) +1$ donc $f$ est strictement croissante (donc injective) on note $g$ la réciproque sur $f(\mathbb N)$ qui est aussi croissante.

3/ Montrons que $f(x)=x$
$f(n+1)>f(f(n))$ alors $g(f(n+1))>g(f(f(n))$ donc $n+1>f(n)\geq n$

Ce qu'il fallait expliquer.
Modifié en dernier par Dattier le mer. juil. 25, 2018 2:32 pm, modifié 3 fois.
La patience est la constance ferme dans ses propos et son comportement en vue d'un objectif précis.

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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » mer. juil. 25, 2018 12:45 pm

Dattier a écrit :
mer. juil. 25, 2018 12:36 pm
l'exo de Zrun :
SPOILER:
1/ Montrons que \( f(n)\geq n \)
Par réccurence total :
on a \( f(0)\geq 0 \)
Supposons $\forall k\leq n, f(k)\geq k$ alors $f(f(n))\geq f(n) \geq n \geq $ donc $f(n+1)\geq f(f(n))+1\geq n+1$

2/ Montrons que \( f \) est injective
On a $f(n+1)\geq f(f(n))+1 \geq f(n) +1$ donc $f$ est strictement croissante (donc injective) on note $g$ la réciproque sur $f(\mathbb N)$ qui est aussi croissante.

3/ Montrons que $f(x)=x$
$f(n+1)>f(f(n))$ alors $g(f(n+1))>g(f(f(n))$ donc $n+1>f(n)\geq n$

Ce qu'il fallait expliquer.
J ai du mal à suivrea première étape, en effet ça devrait être pour tout k<=n f(k)>=k, or cette inégalité est appliquée à f(n).

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Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » mer. juil. 25, 2018 1:02 pm

Il me semble qu'il n'y a pas de problème je suppose jusqu'à n et montre pour n+1 (sinon effectivement j'avais écrit k>n que j'ai corrigé, par k<n)
Ensuite j'utilise de manière équivalente $f(n+1)>f(f(n))$ et $f(n+1)\geq f(f(n))+1$.
La patience est la constance ferme dans ses propos et son comportement en vue d'un objectif précis.

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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » mer. juil. 25, 2018 1:06 pm

Dattier a écrit :
mer. juil. 25, 2018 1:02 pm
Il me semble qu'il n'y a pas de problème je suppose jusqu'à n et montre pour n+1 (sinon effectivement j'avais écrit k>n que j'ai corrigé, par k<n)
Ensuite j'utilise de manière équivalente $f(n+1)>f(f(n))$ et $f(n+1)\geq f(f(n))+1$.
Pourquoi f(f(n)>=f(n) ?

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Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » mer. juil. 25, 2018 1:10 pm

Nabuco a écrit :
mer. juil. 25, 2018 12:45 pm
J ai du mal à suivrea première étape, en effet ça devrait être pour tout k<=n f(k)>=k, or cette inégalité est appliquée à f(n).
Oui, j'ai compris et tu as raison, je vais voir si l'on peut résoudre le problème.
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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » mer. juil. 25, 2018 1:18 pm

gardener a écrit :
mer. juil. 25, 2018 11:08 am
Je reviens une dernière fois sur le sujet si tu veux bien Samuel.A ^_^

C'est pour ça que je dis que l'argument d'Oty me semble boiteux (je n'ai pas bien saisi ce que tu veux montrer).
Oui , je n'ai pas trouvé de parade au cas d'une suite stationnaire quand j'utilise la borne inf .

Edit: comme vous avez exhibé des contres exemples , c'est que la démonstration n'est pas réparable.
Modifié en dernier par oty20 le mer. juil. 25, 2018 1:51 pm, modifié 1 fois.
-sup: public -> Spé:chez moi.
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Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » mer. juil. 25, 2018 1:19 pm

j'ai corrigé.
La patience est la constance ferme dans ses propos et son comportement en vue d'un objectif précis.

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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » mer. juil. 25, 2018 1:32 pm

Dattier a écrit :
mer. juil. 25, 2018 1:19 pm
j'ai corrigé.
Ton hypothèse de récurrence c est pour tout i f composée i fois de n >=n ? Dans ce cas il faut changer aussi la conclusion de ton hérédité tu le prouves uniquemement pour i=1

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