Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Zrun
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Re: Exercices de MPSI

Message par Zrun » mer. juil. 25, 2018 11:44 am

Sur les polynômes
SPOILER:
Le corps des réels étant infini, on identifie polynôme et fonctions polynomiales
a) Notons \( x_1<x_2<...<x_n \) les n racines réelles dû polynômes P .
Alors d’après le théorème de Rolle , la fonction P étant infiniment dérivable car polynomiale, on dispose de \( n-1 \) racines de P’ telles que \( x_1<y_1<x_2<...<y_{n-1}<x_n \). Or, puisque \( n\geq 2 \), P’ est de degré exactement n-1 . On a donc deg P’ racines réelles distinctes pour P’ et donc P’ est scindé à racines simples
b) En réitérant l’argument , on trouve que \( P^{(2)},..,P^{(n—1)} \)sont des polynômes non constant scindés à racines simples . Par l’absurde, si deux coefficients consécutifs sont nuls alors en notons \( k=min {i\in[|0;n-1|] / a_k=a_{k+1}=0} \), 0 est racine double de \( P^{(k)} \), absurde car \( k\leq n-1 \) et donc \( P^{(k)} \) est à racines simples ...
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Dattier
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Message par Dattier » mer. juil. 25, 2018 11:47 am

@Erryss : Oui, tu as raison. Bien joué.

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gardener
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Re: Exercices de MPSI

Message par gardener » mer. juil. 25, 2018 11:48 am

Dattier a écrit :
mer. juil. 25, 2018 11:18 am
gardener a écrit :
mer. juil. 25, 2018 11:08 am
Il faut une hypothèse DSE sur la fonction pour conclure, je pense.
Pas besoin, en prenant \( g(x) \) fonction de $\mathbb R$ juste continue et périodique alors, $P(x)=g(x)\times x$ a des $A$ infinies correspondant quand $P(x)=m \times x$ avec $m\in g(\mathbb R)$
Pour espérer pouvoir conclure que \( P \) est constant, ou quelque chose dans ce goût là :)
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Re: Exercices de MPSI

Message par Zrun » mer. juil. 25, 2018 11:52 am

Un exercice avec peu de connaissance requise :
Soit f une fonction de N dans N telle que pour tout n dans N , f(n+1)>f(f(n)) . Trouver f .
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Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » mer. juil. 25, 2018 11:52 am

gardener a écrit :
mer. juil. 25, 2018 11:48 am
Pour espérer pouvoir conclure que \( P \) est constant, ou quelque chose dans ce goût là :)
En prenant f(x)=exp(x) DSE et A={1/n, n\in N} il n'y a pas de solution polynômiale, en effet il existe une propriété qui a été rappelée ici, de l'unicité, dans ces coniditions, de la fonction DSE (et un polynôme est DSE).

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Re: Exercices de MPSI

Message par Samuel.A » mer. juil. 25, 2018 11:56 am

@Zrun c'est parfait !
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Re: Exercices de MPSI

Message par Errys » mer. juil. 25, 2018 12:31 pm

Exercice de Zrun :
SPOILER:
On montre par une récurrence forte que \( f(n) = n \) pour tout \( n\in\mathbb{N} \).

Initialisation :
On montre que pour tout \( k > 0 \), \( f(k)>0 \). En effet, si \( f(k) = 0 \) alors \( f(k) > f(f(k-1)) \) donc \( f(f(k-1)<0 \) ce qui est absurde.
De plus, \( S = \{ f(k) : k\in\mathbb{N}^*\} \) est une partie non vide de \( \mathbb{N} \) donc admet un plus petit élément \( a \). Donc il existe \( k >0 \) tel que \( f(k) = a \). Or, \( f(k) > f(f(k-1)) \). Donc \( f(k-1) = 0 \) (sinon on arrive à une contradiction). D'où \( k-1=0 \) d'après ce qu'on a vu avant.
Ainsi, \( f(0) = 0 \) et pour tout entier \( k > 0 \), \( f(k) > f(0) \).

Hérédité :
Soit \( n\in\mathbb{N}^* \) tel que \( f(k) = k \) pour \( k < n \) et \( f(k) > f(n-1) \) pour \( k\ge n \).
Par le même raisonnement que dans l'initialisation, on montre que si \( k > n \) alors \( f(k) > n \). En effet, si \( f(k) = n \) alors \( f(k) > f(f(k-1)) \) soit \( f(f(k-1)) < n \). Or, \( f(k-1) \ge n \) donc \( f(f(k-1)) \ge n \) ce qui est absurde.
Donc \( f(k) > n \) pour \( k > n \).

De même, on montre que \( f(n) = n \). On pose \( S = \{ f(k) : k>n\} \). Qui admet un plus petit élément a et \( k>n \) tel que \( f(k) = a \). Or, \( f(k) > f(f(k-1)) \) d'où \( f(f(k-1)) < a \). Ainsi, \( f(k-1) \le n \) sinon on arrive à une contradiction. D'où \( f(k-1) = n \) car \( k-1 \ge n \). Ainsi, \( k-1=n \) et \( f(n) = n \).

D'après le principe de récurrence forte, \( f(n) = n \) pour tout entier \( n \).
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Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » mer. juil. 25, 2018 12:36 pm

l'exo de Zrun :
SPOILER:
1/ Montrons que \( f(n)\geq n \)
Par réccurence :
on a \( \forall i \geq 0, f(i)\geq 0 \)
Supposons $\forall i \geq n , f(i)\geq n$ alors $\forall k\geq n, f(f(k)) \geq n $ donc soit $k\geq n+1$, $k=u+1$ avec $u\geq n$ alors $f(k)=f(u+1)\geq f(f(u))+1\geq n+1$

2/ Montrons que \( f \) est injective
On a $f(n+1)\geq f(f(n))+1 \geq f(n) +1$ donc $f$ est strictement croissante (donc injective) on note $g$ la réciproque sur $f(\mathbb N)$ qui est aussi croissante.

3/ Montrons que $f(x)=x$
$f(n+1)>f(f(n))$ alors $g(f(n+1))>g(f(f(n))$ donc $n+1>f(n)\geq n$

Ce qu'il fallait expliquer.
Modifié en dernier par Dattier le mer. juil. 25, 2018 2:32 pm, modifié 3 fois.

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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » mer. juil. 25, 2018 12:45 pm

Dattier a écrit :
mer. juil. 25, 2018 12:36 pm
l'exo de Zrun :
SPOILER:
1/ Montrons que \( f(n)\geq n \)
Par réccurence total :
on a \( f(0)\geq 0 \)
Supposons $\forall k\leq n, f(k)\geq k$ alors $f(f(n))\geq f(n) \geq n \geq $ donc $f(n+1)\geq f(f(n))+1\geq n+1$

2/ Montrons que \( f \) est injective
On a $f(n+1)\geq f(f(n))+1 \geq f(n) +1$ donc $f$ est strictement croissante (donc injective) on note $g$ la réciproque sur $f(\mathbb N)$ qui est aussi croissante.

3/ Montrons que $f(x)=x$
$f(n+1)>f(f(n))$ alors $g(f(n+1))>g(f(f(n))$ donc $n+1>f(n)\geq n$

Ce qu'il fallait expliquer.
J ai du mal à suivrea première étape, en effet ça devrait être pour tout k<=n f(k)>=k, or cette inégalité est appliquée à f(n).

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Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » mer. juil. 25, 2018 1:02 pm

Il me semble qu'il n'y a pas de problème je suppose jusqu'à n et montre pour n+1 (sinon effectivement j'avais écrit k>n que j'ai corrigé, par k<n)
Ensuite j'utilise de manière équivalente $f(n+1)>f(f(n))$ et $f(n+1)\geq f(f(n))+1$.

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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » mer. juil. 25, 2018 1:06 pm

Dattier a écrit :
mer. juil. 25, 2018 1:02 pm
Il me semble qu'il n'y a pas de problème je suppose jusqu'à n et montre pour n+1 (sinon effectivement j'avais écrit k>n que j'ai corrigé, par k<n)
Ensuite j'utilise de manière équivalente $f(n+1)>f(f(n))$ et $f(n+1)\geq f(f(n))+1$.
Pourquoi f(f(n)>=f(n) ?

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Message par Dattier » mer. juil. 25, 2018 1:10 pm

Nabuco a écrit :
mer. juil. 25, 2018 12:45 pm
J ai du mal à suivrea première étape, en effet ça devrait être pour tout k<=n f(k)>=k, or cette inégalité est appliquée à f(n).
Oui, j'ai compris et tu as raison, je vais voir si l'on peut résoudre le problème.

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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » mer. juil. 25, 2018 1:18 pm

gardener a écrit :
mer. juil. 25, 2018 11:08 am
Je reviens une dernière fois sur le sujet si tu veux bien Samuel.A ^_^

C'est pour ça que je dis que l'argument d'Oty me semble boiteux (je n'ai pas bien saisi ce que tu veux montrer).
Oui , je n'ai pas trouvé de parade au cas d'une suite stationnaire quand j'utilise la borne inf .

Edit: comme vous avez exhibé des contres exemples , c'est que la démonstration n'est pas réparable.
Modifié en dernier par oty20 le mer. juil. 25, 2018 1:51 pm, modifié 1 fois.
-sup: public -> Spé:chez moi.
-2018-??? Ecole Central Casablanca.

''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

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Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » mer. juil. 25, 2018 1:19 pm

j'ai corrigé.

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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » mer. juil. 25, 2018 1:32 pm

Dattier a écrit :
mer. juil. 25, 2018 1:19 pm
j'ai corrigé.
Ton hypothèse de récurrence c est pour tout i f composée i fois de n >=n ? Dans ce cas il faut changer aussi la conclusion de ton hérédité tu le prouves uniquemement pour i=1

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