Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Zrun
Messages : 25
Enregistré le : dim. mai 20, 2018 4:59 pm

Re: Exercices de MPSI

Message par Zrun » mer. juil. 25, 2018 11:44 am

Sur les polynômes
SPOILER:
Le corps des réels étant infini, on identifie polynôme et fonctions polynomiales
a) Notons $ x_1<x_2<...<x_n $ les n racines réelles dû polynômes P .
Alors d’après le théorème de Rolle , la fonction P étant infiniment dérivable car polynomiale, on dispose de $ n-1 $ racines de P’ telles que $ x_1<y_1<x_2<...<y_{n-1}<x_n $. Or, puisque $ n\geq 2 $, P’ est de degré exactement n-1 . On a donc deg P’ racines réelles distinctes pour P’ et donc P’ est scindé à racines simples
b) En réitérant l’argument , on trouve que $ P^{(2)},..,P^{(n—1)} $sont des polynômes non constant scindés à racines simples . Par l’absurde, si deux coefficients consécutifs sont nuls alors en notons $ k=min {i\in[|0;n-1|] / a_k=a_{k+1}=0} $, 0 est racine double de $ P^{(k)} $, absurde car $ k\leq n-1 $ et donc $ P^{(k)} $ est à racines simples ...
2017/2018: MPSI
2018/2019: MP* / Lycée Fermat

Avatar du membre
Dattier
Messages : 1040
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » mer. juil. 25, 2018 11:47 am

@Erryss : Oui, tu as raison. Bien joué.

Avatar du membre
gardener
Messages : 1836
Enregistré le : mer. août 01, 2007 3:04 pm
Classe : américaine!
Localisation : C'est idéal.
Contact :

Re: Exercices de MPSI

Message par gardener » mer. juil. 25, 2018 11:48 am

Dattier a écrit :
mer. juil. 25, 2018 11:18 am
gardener a écrit :
mer. juil. 25, 2018 11:08 am
Il faut une hypothèse DSE sur la fonction pour conclure, je pense.
Pas besoin, en prenant $ g(x) $ fonction de $\mathbb R$ juste continue et périodique alors, $P(x)=g(x)\times x$ a des $A$ infinies correspondant quand $P(x)=m \times x$ avec $m\in g(\mathbb R)$
Pour espérer pouvoir conclure que $ P $ est constant, ou quelque chose dans ce goût là :)
Doctorant Maths-Info, ancien ENS Cachan.

Zrun
Messages : 25
Enregistré le : dim. mai 20, 2018 4:59 pm

Re: Exercices de MPSI

Message par Zrun » mer. juil. 25, 2018 11:52 am

Un exercice avec peu de connaissance requise :
Soit f une fonction de N dans N telle que pour tout n dans N , f(n+1)>f(f(n)) . Trouver f .
2017/2018: MPSI
2018/2019: MP* / Lycée Fermat

Avatar du membre
Dattier
Messages : 1040
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » mer. juil. 25, 2018 11:52 am

gardener a écrit :
mer. juil. 25, 2018 11:48 am
Pour espérer pouvoir conclure que $ P $ est constant, ou quelque chose dans ce goût là :)
En prenant f(x)=exp(x) DSE et A={1/n, n\in N} il n'y a pas de solution polynômiale, en effet il existe une propriété qui a été rappelée ici, de l'unicité, dans ces coniditions, de la fonction DSE (et un polynôme est DSE).

Samuel.A
Messages : 170
Enregistré le : mer. juin 08, 2016 1:20 pm

Re: Exercices de MPSI

Message par Samuel.A » mer. juil. 25, 2018 11:56 am

@Zrun c'est parfait !
2016-2018: Champo MPSI 1 <3 / MP* [internat]
2018-2021: Télécom ParisTech

Errys
Messages : 279
Enregistré le : mer. oct. 04, 2017 3:58 pm
Classe : MPSI

Re: Exercices de MPSI

Message par Errys » mer. juil. 25, 2018 12:31 pm

Exercice de Zrun :
SPOILER:
On montre par une récurrence forte que $ f(n) = n $ pour tout $ n\in\mathbb{N} $.

Initialisation :
On montre que pour tout $ k > 0 $, $ f(k)>0 $. En effet, si $ f(k) = 0 $ alors $ f(k) > f(f(k-1)) $ donc $ f(f(k-1)<0 $ ce qui est absurde.
De plus, $ S = \{ f(k) : k\in\mathbb{N}^*\} $ est une partie non vide de $ \mathbb{N} $ donc admet un plus petit élément $ a $. Donc il existe $ k >0 $ tel que $ f(k) = a $. Or, $ f(k) > f(f(k-1)) $. Donc $ f(k-1) = 0 $ (sinon on arrive à une contradiction). D'où $ k-1=0 $ d'après ce qu'on a vu avant.
Ainsi, $ f(0) = 0 $ et pour tout entier $ k > 0 $, $ f(k) > f(0) $.

Hérédité :
Soit $ n\in\mathbb{N}^* $ tel que $ f(k) = k $ pour $ k < n $ et $ f(k) > f(n-1) $ pour $ k\ge n $.
Par le même raisonnement que dans l'initialisation, on montre que si $ k > n $ alors $ f(k) > n $. En effet, si $ f(k) = n $ alors $ f(k) > f(f(k-1)) $ soit $ f(f(k-1)) < n $. Or, $ f(k-1) \ge n $ donc $ f(f(k-1)) \ge n $ ce qui est absurde.
Donc $ f(k) > n $ pour $ k > n $.

De même, on montre que $ f(n) = n $. On pose $ S = \{ f(k) : k>n\} $. Qui admet un plus petit élément a et $ k>n $ tel que $ f(k) = a $. Or, $ f(k) > f(f(k-1)) $ d'où $ f(f(k-1)) < a $. Ainsi, $ f(k-1) \le n $ sinon on arrive à une contradiction. D'où $ f(k-1) = n $ car $ k-1 \ge n $. Ainsi, $ k-1=n $ et $ f(n) = n $.

D'après le principe de récurrence forte, $ f(n) = n $ pour tout entier $ n $.
Lycée Édouard Branly 2015-2018
LLG HX1 2018-?

Avatar du membre
Dattier
Messages : 1040
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » mer. juil. 25, 2018 12:36 pm

l'exo de Zrun :
SPOILER:
1/ Montrons que $ f(n)\geq n $
Par réccurence :
on a $ \forall i \geq 0, f(i)\geq 0 $
Supposons $\forall i \geq n , f(i)\geq n$ alors $\forall k\geq n, f(f(k)) \geq n $ donc soit $k\geq n+1$, $k=u+1$ avec $u\geq n$ alors $f(k)=f(u+1)\geq f(f(u))+1\geq n+1$

2/ Montrons que $ f $ est injective
On a $f(n+1)\geq f(f(n))+1 \geq f(n) +1$ donc $f$ est strictement croissante (donc injective) on note $g$ la réciproque sur $f(\mathbb N)$ qui est aussi croissante.

3/ Montrons que $f(x)=x$
$f(n+1)>f(f(n))$ alors $g(f(n+1))>g(f(f(n))$ donc $n+1>f(n)\geq n$

Ce qu'il fallait expliquer.
Modifié en dernier par Dattier le mer. juil. 25, 2018 2:32 pm, modifié 3 fois.

Nabuco
Messages : 210
Enregistré le : dim. sept. 17, 2017 10:09 pm

Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » mer. juil. 25, 2018 12:45 pm

Dattier a écrit :
mer. juil. 25, 2018 12:36 pm
l'exo de Zrun :
SPOILER:
1/ Montrons que $ f(n)\geq n $
Par réccurence total :
on a $ f(0)\geq 0 $
Supposons $\forall k\leq n, f(k)\geq k$ alors $f(f(n))\geq f(n) \geq n \geq $ donc $f(n+1)\geq f(f(n))+1\geq n+1$

2/ Montrons que $ f $ est injective
On a $f(n+1)\geq f(f(n))+1 \geq f(n) +1$ donc $f$ est strictement croissante (donc injective) on note $g$ la réciproque sur $f(\mathbb N)$ qui est aussi croissante.

3/ Montrons que $f(x)=x$
$f(n+1)>f(f(n))$ alors $g(f(n+1))>g(f(f(n))$ donc $n+1>f(n)\geq n$

Ce qu'il fallait expliquer.
J ai du mal à suivrea première étape, en effet ça devrait être pour tout k<=n f(k)>=k, or cette inégalité est appliquée à f(n).

Avatar du membre
Dattier
Messages : 1040
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » mer. juil. 25, 2018 1:02 pm

Il me semble qu'il n'y a pas de problème je suppose jusqu'à n et montre pour n+1 (sinon effectivement j'avais écrit k>n que j'ai corrigé, par k<n)
Ensuite j'utilise de manière équivalente $f(n+1)>f(f(n))$ et $f(n+1)\geq f(f(n))+1$.

Nabuco
Messages : 210
Enregistré le : dim. sept. 17, 2017 10:09 pm

Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » mer. juil. 25, 2018 1:06 pm

Dattier a écrit :
mer. juil. 25, 2018 1:02 pm
Il me semble qu'il n'y a pas de problème je suppose jusqu'à n et montre pour n+1 (sinon effectivement j'avais écrit k>n que j'ai corrigé, par k<n)
Ensuite j'utilise de manière équivalente $f(n+1)>f(f(n))$ et $f(n+1)\geq f(f(n))+1$.
Pourquoi f(f(n)>=f(n) ?

Avatar du membre
Dattier
Messages : 1040
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » mer. juil. 25, 2018 1:10 pm

Nabuco a écrit :
mer. juil. 25, 2018 12:45 pm
J ai du mal à suivrea première étape, en effet ça devrait être pour tout k<=n f(k)>=k, or cette inégalité est appliquée à f(n).
Oui, j'ai compris et tu as raison, je vais voir si l'on peut résoudre le problème.

Avatar du membre
oty20
Messages : 667
Enregistré le : dim. avr. 30, 2017 1:48 am

Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » mer. juil. 25, 2018 1:18 pm

gardener a écrit :
mer. juil. 25, 2018 11:08 am
Je reviens une dernière fois sur le sujet si tu veux bien Samuel.A ^_^

C'est pour ça que je dis que l'argument d'Oty me semble boiteux (je n'ai pas bien saisi ce que tu veux montrer).
Oui , je n'ai pas trouvé de parade au cas d'une suite stationnaire quand j'utilise la borne inf .

Edit: comme vous avez exhibé des contres exemples , c'est que la démonstration n'est pas réparable.
Modifié en dernier par oty20 le mer. juil. 25, 2018 1:51 pm, modifié 1 fois.
-sup: public -> Spé:chez moi.
-2018-??? Ecole Central Casablanca.

''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

Avatar du membre
Dattier
Messages : 1040
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » mer. juil. 25, 2018 1:19 pm

j'ai corrigé.

Nabuco
Messages : 210
Enregistré le : dim. sept. 17, 2017 10:09 pm

Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » mer. juil. 25, 2018 1:32 pm

Dattier a écrit :
mer. juil. 25, 2018 1:19 pm
j'ai corrigé.
Ton hypothèse de récurrence c est pour tout i f composée i fois de n >=n ? Dans ce cas il faut changer aussi la conclusion de ton hérédité tu le prouves uniquemement pour i=1

Répondre

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 9 invités