Exercices de MPSI

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Dattier
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Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » sam. août 04, 2018 9:47 pm

BobbyJoe a écrit :
sam. août 04, 2018 9:40 pm
Mais oui, je te crois qu'il existe une preuve "facile" avec cette condition artificielle!
Tu peux remercier qui tu sais... :D

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oty20
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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » dim. août 05, 2018 2:05 am

Propriété de l'ensemble R :

Soit \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) et soit \( c >0 \), montrer qu'il existe \( x,y\in \mathbb{R},~~x\neq y \) tel que : \( |f(x)-f(y)| < c \).
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Dattier
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Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » dim. août 05, 2018 2:08 am

Il est de toi, j'aime beaucoup, bravo.

Krik
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Re: Exercices de MPSI

Message par Krik » dim. août 05, 2018 12:41 pm

Propriété de l'ensemble R :
SPOILER:
Preuve qui utilise le programme de MP (dénombrabilité) :

Raisonnons par l'absurde : on suppose que \( \forall x \neq y, ~ |f(x)-f(y)| \geq c \).
Notons \( X^+ = \{ x \in \mathbb{R}~:~
f(x) \geq 0 \}
\) et \( X^- = \{ x \in \mathbb{R}~:~ f(x) < 0 \}
\). Ces deux ensembles partitionnent \( \mathbb{R} \), donc l'un des deux est infini non dénombrable. Quitte à prendre \( -f \) et à changer un éventuel élément d'image nulle d'ensemble, on suppose que c'est \( X^+ \).


On construit alors par récurrence une suite \( (x_n) \) comme ceci :
On suppose \( x_0,~x_1,~...,~x_n \) construits (pour construire \( x_0 \) on ne suppose donc rien...).
Soit \( \alpha = \inf f(X^+ \backslash \{ x_0,~..., ~x_n \}) \).
Montrons que cette borne inférieure est atteinte. Il existe une suite \( (z_k)=(f(y_k)) \) de \( f(X^+ \backslash \{ x_0,~..., ~x_n \}) \) qui tend vers \( \alpha \). Si cette suite n'est pas stationnaire, on peut trouver un rang \( K \) tel que \( y_{K+1} \neq y_K \) et \( |f(y_{K+1}) - f(y_K)| \leq \frac{c}{2} \), ce qui est impossible par hypothèse. La suite est donc stationnaire égale à \( \alpha \), ce qui montre que la borne inférieure est atteinte. On pose alors \( x_{n+1} \) tel que \( f(x_{n+1})=\alpha \).
La suite est construite et vérifie clairement : \( (f(x_n)) \) strictement croissante et diverge vers l'infini (car \( f(x_{n+1}) \geq c + f(x_n) \)) .


Par non dénombrabilité de \( X^+ \), il existe \( t \in X^+ \backslash \{ x_n, ~ n \in \mathbb{N} \} \). On peut alors encadrer \( f(t) \) entre deux termes (strictement par injectivité de \( f \), qui est une conséquence directe de l'hypothèse) : \( f(x_n) < f(t) <f(x_{n+1}) \), et \( t \) aurait dû être choisi à la place de \( x_{n+1} \), ce qui est absurde et permet de conclure.
Je n'ai pas trouvé plus simple.
Dites-moi si j'ai fait une erreur ou si je n'ai pas été clair quelque part.

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oty20
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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » dim. août 05, 2018 2:35 pm

très belle solution Krik , Bravo!

je doute qu'une construction soit possible pour cette version:
Soit \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) , montrer qu'il existe \( x,y\in \mathbb{R},~~x\neq y \) tel que : \( |f(x)-f(y)| < \frac{1}{|x|+|y|} \).
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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » dim. août 05, 2018 3:47 pm

@Krik , il semble que oui c'est possible en revenant au premier cas :

On considère \( h(t)=\arctan(t) \) strictement croissante sur R , soit u,v tels que : \( x=h(u) \) et \( y=h(v) \)
\( |h(t)| < \frac{\pi}{2} \) donc \( \frac{\pi}{|h(u)|+|h(v)|} \geq 1 \)

raisonnons par l'absurde , on pose \( g(t)=\pi f(h(t)) \) alors, pour tout u,v distincts \( |g(u)-g(v)| > 1 \) et on peut appliquer ta démonstration :mrgreen:.
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Re: Exercices de MPSI

Message par Krik » dim. août 05, 2018 4:16 pm

Si on veut éviter l'utilisation de \( Arctan \) qui peut paraître un peu artificielle (même si après coup on comprend que l'idée est d'envoyer \( \mathbb{R} \) tout entier sur un segment), on peut aussi "presque" se ramener au cas précédent de la façon suivante :

Comme avant on raisonne par l'absurde et on suppose que \( \forall x \neq y \in \mathbb{R}, ~ |f(x)-f(y)| \geq \frac{1}{|x|+|y|} \). C'est donc a fortiori vrai pour les \( x, y \in [-1, 1] \), pour lesquels \( |x|+|y| \leq 2 \) donc \( \frac{1}{|x|+|y|} \geq \frac{1}{2} \), d'où \( \forall x \neq y \in [-1,1] , ~ |f(x)-f(y)| \geq \frac{1}{2} \). Comme \( [-1,1] \) reste non dénombrable, la preuve précédente s'applique.

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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » dim. août 05, 2018 6:10 pm

oui oui, j'ai remarqué qu'il suffisait de se ramener à un segment après avoir posté le problème, j'avais espéré que cela se verrait pas trop parce que cela aurait détruit tout sens à mon problème modifié :roll:
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Re: Exercices de MPSI

Message par Dattier » mer. août 15, 2018 3:51 pm

Bonjour,
Dattier a écrit :
mar. juin 26, 2018 5:47 pm
(niveau TS spé math) :
1/ Soit N=a1...an un entier naturel écrit en base 10, de manière a être un palindrôme, avec les ai qui valent 0 ou 1, et a1+...+an<10.
A-t-on alors N^2 qui est aussi un palindrôme en base 10 ?

(niveau MPSI) :
2/ Soit N=a1...an un entier naturel impair écrit en base 10, avec les ai qui valent 0 ou 1, et a1+...+an<10.
A-t-on alors N*S(N) qui est aussi un palindrôme en base 10 ?

Avec S(N) le symétrique de N en base 10, S(N)=an...a1, ainsi S(1234)=4321.
Pas d'amateur ?
PS : cela se résoud en 3 lignes certes astucieuses, mais 3 lignes quand même.

Bonne journée.

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Siméon
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Re: Exercices de MPSI

Message par Siméon » mer. août 15, 2018 9:22 pm

Krik a écrit :
dim. août 05, 2018 12:41 pm
Je n'ai pas trouvé plus simple.
Pour tout $n \in \Bbb Z$, on pose $A_n = \{x \in \Bbb R \mid cn \leqslant f(x) < c(n+1)\}$ de sorte que $\bigcup_{n \in \Bbb Z} A_n = \Bbb R$. Puisque $\Bbb R$ est indénombrable, il existe donc $n \in \Bbb Z$ tel que $A_n$ est infini (et même indénombrable). Or pour tous $x$ et $y$ dans $A_n$, on a $|f(x)-f(y)| < c$.

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Re: Exercices de MPSI

Message par Zrun » jeu. août 16, 2018 8:43 pm

Voilà un exercice sympathique pour se dérouiller les doigts :
Soit S une série semi-convergente. On note \( u_n \)le terme général de la série . Montrer qu’on peut réordonner les termes de la série telle que S converge vers n’importe quel réel .
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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » jeu. août 16, 2018 9:11 pm

Siméon a écrit :
mer. août 15, 2018 9:22 pm
Krik a écrit :
dim. août 05, 2018 12:41 pm
Je n'ai pas trouvé plus simple.
Pour tout $n \in \Bbb Z$, on pose $A_n = \{x \in \Bbb R \mid cn \leqslant f(x) < c(n+1)\}$ de sorte que $\bigcup_{n \in \Bbb Z} A_n = \Bbb R$. Puisque $\Bbb R$ est indénombrable, il existe donc $n \in \Bbb Z$ tel que $A_n$ est infini (et même indénombrable). Or pour tous $x$ et $y$ dans $A_n$, on a $|f(x)-f(y)| < c$.
voici ma solution : on se débarrasse du \( c \), on pose \( g(x)=\frac{f(x)}{c} \) la condition revient à trouver :

\( x\neq y \) de sorte que : \( |g(x)-g(y)|< 1 \) , raisonnons par l'absurde et considérons :

\( h : \mathbb{R} \to \mathbb{Z} \\
~~ x \to E(g(x)) \)

pour tout réels \( x,y \) tel que \( x\neq y \) on a:
\( |g(x)-g(y)| \geq 1 \Rightarrow g(x) \geq g(y) +1~~ ou~~ g(x) \leq g(y)-1
\\ \Rightarrow E(g(x)) \geq E(g(y)) +1 ~~ou~~ E(g(x)) \leq E(g(y))-1
\\ \Rightarrow h(x) > h(y) ~~ou~~ h(x) < h(y) \)

Donc \( h \) est injective ce qui est totalement absurde.
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kakille
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Re: Exercices de MPSI

Message par kakille » lun. août 27, 2018 9:51 am

Hello,

soit \( f:]0,+\infty[\to \mathbb{R} \) et \( a\in]0,+\infty[ \). On suppose que \( f \) est dérivable en \( a \). Donner un développement asymptotique à 2 termes de \( r\mapsto f(ra) \) quand \( r\to1 \). Que dire si on suppose \( f \) deux fois dérivable en \( a \) ?
"[...] On dira que le nombre \( L \) est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné \( \varepsilon \), si petit soit-il, il existe un nombre entier \( n \) tel que l'ont ait \( |L−S_n|<\varepsilon \)."

Alain Badiou, Eloge des mathématiques.

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