question sur un type de raisonnement

[emmo]

bonjour,(début lettre robot )

j'aimerais savoir si on peut prouver par récurrence que si quelquechose est faux au rang n il est faux au rang n+1: en bref est-ce qu'on peut faire un raisonnement par l'absurde par récurrence. Veuillez pardonner ma question bête, j'en conviens, mais interrogation néanmoins.

merci

au revoir

[Sylvie Bonnet]

On peut prouver par récurrence sur n que la propriété P(n) est fausse ce qui n'est autre que prouver par récurrence sur n que la propriété [non(P)](n) est vraie.
Etait-ce la question?

[emmo]

non ce n'était pas ça la question mais de toute façon c'est mal exprimé parce que cela n'est pas très clair dans ma tête. Je vais essayer d'améliorer ce que je pensais: si l'initiation du raisonnement est fausse mais que l'hérédité est fausse, est-ce que ça veut dire que P(n) est fausse?

[Sylvie Bonnet]

non

[emmo]

oui mais si l'initiation est fausse pour tout n(il faut alors le prouver par une autre récurrence), alors là on peut dire que c'est faux. Mais que dire si le contraire de l'hypothèse de récurrence donne plusieurs possibilités( un exemple si une suite ne converge pas, elle diverge soit vers l'infini soit n'a pas de limite mais là je pense aux problèmes où il y a beaucoup plus de cas que ça)

[Petitom]

Une initiation fausse pour tout n?
Mon prof de maths dirait que tu commets un crime contre les mathématiques là .
Comme l'a dit Sylvie Bonnet au dessus, pour prouver qu'une proprieté PN est fausse, il faut faire sa récurence sur nonP(n)

[emmo]

oui mais si justement ton non Pn ne peut se résumer à un seul non Pn mais à plusieurs non Pn??

[JeanN]

Donne un exemple pour qu'on y voit clair

[emmo]

et bien par exemple l'exemple que je donnerais ça serait plutôt sur la convergence d'une suite même on ne récurre que très rarement (en tout cas de ce que je connais), et bien soit une suite converge et là sa limite existe et est réelle soit elle diverge et soit elle n'a pas de limites soit elle diverge vers l'infini. Je sais que l'exemple est mal choisi mais je n'en vois pas d'autres (pour le moment). De plus, j'ai cru comprendre (les ts1 ont fait ça il me semble) qu'on pouvait PARFOIS étendre la récurrence à un autre ensemble que les entiers naturels. Est-ce vrai et si oui à quel(s) ensemble(s)?

[JeanN]

Pour répondre à ta question sur la récurrence, on peut par exemple démontrer une propriété pour tous les entiers i et j en supposant la propriété vraie pour tous les couples (i,j) tels que i+j=n et en démontrant le résultat pour les couples qui vérifient i+j=n+1

[abcd22]

De plus, j'ai cru comprendre (les ts1 ont fait ça il me semble) qu'on pouvait PARFOIS étendre la récurrence à un autre ensemble que les entiers naturels. Est-ce vrai et si oui à quel(s) ensemble(s)?

Oui, c'est une récurrence transfinie, avec des ordinaux, c'est de la théorie des ensembles. Le principe c'est qu'on a une droite avec tous les points de N, et au bout de la droite on rajoute un point omega qui est en fait l'ensemble des entiers naturels, ensuite on a omega + 1, omega + 2... on continue la construction et on finit par arriver à des ensembles non dénombrables (et on peut encore construire des ensembles plus gros). J'ai déjà trouvé des articles pas trop formels là-dessus mais je n'ai pas le temps de chercher ni d'expliquer plus en détail là.

[emmo]

De plus, j'ai cru comprendre (les ts1 ont fait ça il me semble) qu'on pouvait PARFOIS étendre la récurrence à un autre ensemble que les entiers naturels. Est-ce vrai et si oui à quel(s) ensemble(s)?

Oui, c'est une récurrence transfinie, avec des ordinaux, c'est de la théorie des ensembles. Le principe c'est qu'on a une droite avec tous les points de N, et au bout de la droite on rajoute un point omega qui est en fait l'ensemble des entiers naturels, ensuite on a omega + 1, omega + 2... on continue la construction et on finit par arriver à des ensembles non dénombrables (et on peut encore construire des ensembles plus gros). J'ai déjà trouvé des articles pas trop formels là-dessus mais je n'ai pas le temps de chercher ni d'expliquer plus en détail là.

merci pour l'explication même si j'ai l'impression que ma compréhension est énormément superficielle (et c'est normal à mon avis). Si un jour, tu as plus de temps pourras-tu m'envoyer ces articles?merci. Sinon à partir de quelle année d'étude, peut-on comprendre un peu mieux cela?

[abcd22]

Ah, j'ai retrouvé la page http://www.madore.org/~david/misc/VIRUS/ordinals/ordinals.html, qui donne une idée de ce que sont les ordinaux. Pour une construction formelle, si tu cherches sur google tu peux trouver plein de cours complets là-dessus (par exemple plusieurs des liens donnés par cette page : http://dmoz.org/World/Fran%C3%A7ais/Sciences/Math%C3%A9matiques/Logique_et_fondements/), je ne pense pas que ce soit enseigné avant la licence (enfin, L3), mais si ça t'intéresse tu peux essayer de lire des cours ou des livres sur ce sujet avant car il n'y a pas vraiment besoin de prérequis mathématiques.

[emmo]

merci^^