intégrales

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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marionc21
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Message par marionc21 » lun. févr. 06, 2006 9:56 pm

Bonjour, je n'arrive pas à finir cet exercice:
1) Montrer que $ A_n= \int_{0}^{pi/2 } { \frac{sin^2nx}{tan^2x} } \,\text{d}{x} {} \, \leq \, {} I_n= \int_{0}^{pi/2 } { \frac{sin^2nx}{sin^2x} } \,\text{d}{x} {} \, \leq \, {} B_n= \int_{0}^{pi/2 } { \frac{sin^2nx}{x^2} } \,\text{d}{x} $
Cette question là est triviale, c'est bon!

2) Soit $ J_2= \int_{0}^{ {} \infty } { \frac{sin^2x}{x^2} } \,\text{d}{x}= \lim_{T \rightarrow {} \infty } \int_{0}^{T} { \frac{sin^2x}{x^2} } \,\text{d}{x} $
Montrer que $ J_2= \lim_{n \rightarrow {} \infty } \frac{I_n}{n} $
J'ai réussi cette question là avec un changement de variable u=nx

3) Montrer que $ B_{n+1}-B_{n}= \int_{0}^{pi/2} { \frac{sin((2n+1)x)}{sinx} } \,\text{d}{x} =C_{2n+1} $
J'ai réussi
Calculer $ C_{2n+1} - C_{2n-1} $ puis B_n
On trouve $ C_{2n+1} - C_{2n-1}=0 $ et C_1=pi/2 donc B_n=npi/2

4) Calculer $ A_n $ grâce à $ B_n $, puis $ J_2 $
C'est là que je bloque, je ne vois pas comment calculer simplement An grâce à Bn...

5) Montrer que $ J_1= \int_{0}^{ {} \infty } { \frac{sinx}{x} } \,\text{d}{x}=J_2 $

Merci d'avance pour votre aide
ancienne BCPST à Carnot (2005-2007)
étudiante à l'école vétérinaire d'Alfort (2007-2012)

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