Dérivabilité des séries entières

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Pimks'
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Dérivabilité des séries entières

Message par Pimks' » mer. févr. 08, 2006 3:17 pm

Alors voilà j'ai un ptit problème avec mon DM ... (MPSI)

On a : $ f(x)=\sum^{+\infty}_{n=O}a_n\cdot x^n $ définie sur un intervalle I où la série est convergente.

Le but est de prouver que $ f $ est de classe $ C^{+\infty} $ sur I et que $ f^{(p)}(x)=\sum^{+\infty}_{n=p}n\cdot (n-1)...(n-p+1)\cdot a_n\cdot x^{n-p} $

En raisonnant par récurrence j'ai rencontré certains problèmes ...
Comme je suis en sup, on a pas du tout traité en cours les séries entières et donc je voulais savoir si dans l'hypothèse de récurrence on pouvait écrire " Supposons $ f^{(p)} $ dérivable sur I comme somme de fonctions dérivables".
(Pour l'initialisation on a prouvé grâce à des questions préliminaires que $ f $ était bien dérivable sur I et que $ f'(x)=\sum^{+\infty}_{n=1}n\cdot a_n\cdot x^{n-1} $ ).
Ce qui me gêne c'est d'appliquer la propriété sur les sommes de fonctions dérivables à une somme infinie, c'est pour ça que j'ai utilisé cette formulation pour mon hypothèse de récurrence, mais j'ai vraiment l'impression que c'est faux, alors j'aimerais avoir l'aide de ceux qui ont vu ça en cours parce que je sais pas trop manipuler ce genre de choses :roll:

Sylvie Bonnet
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Message par Sylvie Bonnet » mer. févr. 08, 2006 3:32 pm

Il ne s'agit bien sûr pas d'une somme (finie) de fonctions dérivables.
Mais puisque vous avez montré l'hypothèse de récurrence (appelons-la HRk) au rang 1 grâce à des questions préalables, en remarquant que la dérivée p+1-ème de f n'est autre que la dérivée de la dérivée p-ème de f, vous pouvez appliquer HR1 à la dérivée p-ème pour montrer que HRp implique HR(p+1).
Sylvie Bonnet

jojo
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Message par jojo » mer. févr. 08, 2006 4:29 pm

Salut,
une fois que tu as montré le résultat pour la dérivée première, c'est trivial.
Il faut bien prendre conscience que ta somme est surtout pas finie (sauf dans le cas d'une suite an stationnaire, de limite 0, auquel cas tu as un polynôme)

Sans avoir traité ca en cours, ca ne pose pas de problème.
Il faut que tu comprennes bien le principe:
$ f(x)-f(0)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n $
tu peux donc mettre un x en facteur et tu le fais passer de l'autre coté.
Le membre de droite est une nouvelle série entière, et est donc continue (pas très compliqué) en particulier à droite si on pose x=0 on trouve a1
A gauche ca doit donc aussi être continue, et tend donc vers f'(0).
Ainsi f'(0)=a1

On fait ca de manière récursive, $ f \leftarrow f_1 $ pour prendre la notation algorithmique.

Note qu'une somme infinie de fonctions dérivables n'est pas nécessairement dérivable. Par exemple, il existe (facile à montrer) une suite de fonctions dérivables, qui converge vers la valeur absolue, et celle ci n'est pas dérivable.

Evidemment, j'ai traité le cas x=0, mais le cas x=t quelconque est du même genre, il suffit de poser u=x-t et on se ramène en 0.

A+

fredo118
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Message par fredo118 » sam. févr. 11, 2006 12:14 pm

jojo a écrit :

$ f(x)-f(0)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n $
tu peux donc mettre un x en facteur et tu le fais passer de l'autre coté.
Le membre de droite est une nouvelle série entière, et est donc continue (pas très compliqué)

Eh bien si c'est justement ça qui est compliqué dans les séries entières car on ne pas prévoire le continuité de la somme à de la continuité des termes de la série.Je pense qu'il y a quelque chose qui ne va dans ton raisonnement .
fradiqué

Sylvie Bonnet
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Message par Sylvie Bonnet » sam. févr. 11, 2006 4:44 pm

fredo118 a écrit :
jojo a écrit :

$ f(x)-f(0)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n $
tu peux donc mettre un x en facteur et tu le fais passer de l'autre coté.
Le membre de droite est une nouvelle série entière, et est donc continue (pas très compliqué)

Eh bien si c'est justement ça qui est compliqué dans les séries entières car on ne pas prévoire le continuité de la somme à de la continuité des termes de la série.Je pense qu'il y a quelque chose qui ne va dans ton raisonnement .


Effectivement.
C'est d'ailleurs ce point qui devait faire l'objet des questions précédentes dans le problème: le prolongement par continuité en 0 de
$ (f(x)-f(0))/x=\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^{n-1} $
Je répète que si l'hypothèse de récurrence au rang k est "une somme de série entière est k fois dérivable terme à terme sur l'intervalle I", si les questions précédentes ont montré l'hypothèse de récurrence pour k=1,on montre que HR(k) implique HR(k+1) en appliquant HR(1) à la dérivée k-ème de f.
Sylvie Bonnet

jojo
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Message par jojo » sam. févr. 11, 2006 5:11 pm

fredo118 a écrit :Je pense qu'il y a quelque chose qui ne va dans ton raisonnement

Non mon raisonnement est parfaitement juste, il suffit de faire les étapes que je ne démontre pas.

La continuité peut se montrer parce que lorsque tu travailles sur une série entière tu as 2 possibilité:
Son disque de convergence est un singleton.
Un disque de rayon strictement positif.

Le premier cas est complétement inutile.
Le second permet de trouver un disque ouvert sur lequel la série entière est continue, dérivable et même Cinfinie (ce disque s'obtient facilement en considérant un r' < r)
Il existe des tas de démonstrations de ces résultats, plus ou moins simples, mais le problème est qu'en première année, la topologie n'existe presque pas, et la convergence uniforme est une notion complétement laissée de coté, il faut donc faire du cas par cas.
Grosso modo ici l'idée est que les fonctions de notre série, sont toutes proches les une des autres (localement), et toutes arbitrairment proches de la limite (ce que tu appelles la série entière) à partir d'un certain rang. Ca permet de montrer la continuité de manière assez simple en revenant à la définition "epsilon-ienne" de la continuité.
Je pense que dans le livre d'Ahlfors "complex analysis" il y'a une belle démonstration de la continuité d'une série entière.

Juste pour finir avec une remarque:
Si f est une série entière, et que l'on montre que toute série entière est continue (mettons dans un résultat préliminaire), alors il est immédiat que [f(z)-a0]/z est continue en 0.

jojo
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Message par jojo » sam. févr. 11, 2006 5:15 pm

En passant, je ne comprend pas très bien cette phrase, ni ce que tu voulais dire:
fredo118 a écrit :Eh bien si c'est justement ça qui est compliqué dans les séries entières car on ne pas prévoire le continuité de la somme à de la continuité des termes de la série


On ne peut pas prédire la continuité de la somme à partir de la continuité de chacun des membres de la série?
Bein il me semble bien que si, à partir du moment où la convergence est uniforme (ce qui est toujours le cas sur un certain disque ouvert dans le cas d'une série entière, mais ca se voit probablement plus tard dans le cours de spé), et même dans le cas de la convergence simple, on a la continuité sur un $ G_\delta $ dense.
Un théorème d'Abel permet parfois de conclure quant à la convergence uniforme dans certains cas, sur le bord du disque.

Pimks'
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Message par Pimks' » sam. févr. 11, 2006 8:16 pm

Merci pour vos réponses !
En tout cas la récurrence comme l'utilise Sylvie Bonnet est la plus adaptée pour mon problème étant donné les questions préliminaires etc.
Mais en effet on a pas étudié les séries dans le détail (même pas du tout) et donc pas entendu parler de rayon de convergence, de convergence uniforme etc. ...

jojo
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Message par jojo » sam. févr. 11, 2006 9:01 pm

Oui, c'est effectivement la méthode attendue.
Mais quelles sont ces fameuses questions préliminaires, par curiosité ...?

Pimks'
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Message par Pimks' » sam. févr. 11, 2006 9:20 pm

On se place sur un intervalle où f converge.
De là on prouve :
1. que f converge absolument ;
2. que la série de terme général $ n\cdot a_n\cdot x^{n-1} $ converge;
3. et enfin on utilise l'inégalite de Taylor-Lagrange pour montrer que f est dérivable et que $ f'(x) = \sum^{+\infty}_{n=0}n\cdot a_n\cdot x^{n-1} $.

Voilà ...

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Message par fredo118 » dim. févr. 12, 2006 4:21 pm

¤LaPc¤ a écrit :On se place sur un intervalle où f converge.
De là on prouve :
1. que f converge absolument ;
2. que la série de terme général $ n\cdot a_n\cdot x^{n-1} $ converge;
3. et enfin on utilise l'inégalite de Taylor-Lagrange pour montrer que f est dérivable et que $ f'(x) = \sum^{+\infty}_{n=0}n\cdot a_n\cdot x^{n-1} $.

Voilà ...

Ben justement jojo ne dit rien concernant le deuxième point pour pouvoir déduire la continuité,compte-tenu du fait que l'intervalle de converge n'est pas explicité(I c'est compact ou pas ?).Effectivement si I est centré en 0 alors on sait que la série entière est normalement convergente sur l'intérieur de I.
fradiqué

jojo
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Message par jojo » lun. févr. 13, 2006 8:50 pm

fredo118 a écrit :Effectivement si I est centré en 0 alors on sait que la série entière est normalement convergente sur l'intérieur de I.


Non je ne pense pas, il suffit de regarder la série entiere de terme général x^n qui ne converge pas uniformement sur (0,1), donc pas normalement (en fait la non convergence normale peut se voir immédiatement en calculant la série des normes qui est tout simplement, sauf erreur (n+1).

Si on a une série entiere elle converge toujours uniformément sur un disque de centre a et de rayon r avec r strictement inférieur a R ou R est le rayon de convergence (éventuellement infini)
Le caractere compact ou non du disque de convergence ne change pas grand chose ...

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