pblm pour conclure

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Répondre
dam$
Messages : 20
Enregistré le : lun. déc. 13, 2004 6:57 pm

pblm pour conclure

Message par dam$ » lun. févr. 13, 2006 11:48 am

Bonjour, j'ai un petit probleme sur un exercice, j'ai fait toutes les questions et je ne parviens pas a conclure sur la derniere, c'est peut etre evident mais je ne parviens pas a utiliser ce qui a été fait avant :

on veut calculer :
$ C(x)=\Bigint_0^{+\infty} e^{-t}cos(xt)\frac{dt}{\sqrt{t}} $ et $ S(x)=\Bigint_0^{+\infty} e^{-t}sin(xt)\frac{dt}{\sqrt{t}} $

- J'ai etabli qu'elles verifiaient le systeme :
$ 2(1+x^2)C'(x)+xC(x)=-S(x) $
$ 2(1+x^2)S'(x)+xS(x)=C(x) $


- J'ai trouvé la valeur de C(0) qui vaut je crois $ \sqrt{\pi} $


- J'ai montré que pour toute fonctions $ \alpha(x) $ et $ \beta(x) $ verifiant :
$ 2(1+x^2)\alpha'(x)=-\beta(x) $
$ 2(1+x^2)\beta'(x)=\alpha(x) $ avec $ \alpha(0)=\sqrt{\pi} $ et $ \beta(0)=0 $

alors $ \alpha(x)^2+\beta(x)^2=\pi $ et j'ai fini par determiner $ \alpha $ et $ \beta $...

On me demande alors de trouver C et S mais la je bloque car je ne vois pas comment adapter la methode, le systeme differentiel est bien plus compliqué, malgré les memes conditions en 0...

Si quelqu'un voit comment faire, je voudrais juste l'idée de depart, pas la reponse svp comme ca je pourrai terminer...

Merci a tous :)

masterbech
Messages : 26
Enregistré le : mer. oct. 30, 2002 4:54 pm
Localisation : caen
Contact :

Message par masterbech » lun. févr. 13, 2006 11:45 pm

Je ne vois pas trop l'astuce, mais si tu poses $ Z=C+iS $ alors tu as $ Z^{\prime }=\frac{-x+i}{1+x^{2}} Z\Leftrightarrow Z^{\prime }=-\frac{1}{x+i}Z\Leftrightarrow (x+i)Z^{\prime }+Z=0 $
Le bonheur quoi

masterbech
Messages : 26
Enregistré le : mer. oct. 30, 2002 4:54 pm
Localisation : caen
Contact :

Message par masterbech » lun. févr. 13, 2006 11:46 pm

masterbech a écrit :Je ne vois pas trop l'astuce, mais si tu poses $ Z=C+iS $ alors tu as $ Z^{\prime }=\frac{-x+i}{1+x^{2}} Z\Leftrightarrow Z^{\prime }=-\frac{1}{x+i}Z\Leftrightarrow (x+i)Z^{\prime }+Z=0 $
Le bonheur quoi

Bien entendu, il s'agit de $ 2(x+i)Z^{\prime }+Z=0 $

dam$
Messages : 20
Enregistré le : lun. déc. 13, 2004 6:57 pm

Message par dam$ » mar. févr. 14, 2006 12:05 pm

D'accord mais cela ne m'aide pas vraiment, ne faut il pas reutiliser les fonctions alpha et beta ?? Je pensais que C et S seraient en fonction de alpha et beta...

Personne ne voit comment proceder ?

masterbech
Messages : 26
Enregistré le : mer. oct. 30, 2002 4:54 pm
Localisation : caen
Contact :

Message par masterbech » mar. févr. 14, 2006 12:14 pm

Une idée me vient
$ 2(1+x^{2})C^{\prime }(x)+xC(x)=-S(x) \Leftrightarrow 2(1+x^{2})\left( C^{\prime }(x)+\frac{x}{2(1+x^{2})} C\right) =-S \Leftrightarrow 2(1+x^{2})\left( C\exp \left( \frac{1}{4}\ln \left(
1+x^{2}\right) \right) \right) ^{\prime }=-S\exp \left( \frac{1}{4}\ln
\left( 1+x^{2}\right) \right) $

Tu poses alors

$ \alpha (x)=C(x)\exp \left( \frac{1}{4}\ln \left(
1+x^{2}\right) \right) \quad \text{et} \quad \beta (x)=S(x)\exp \left( \frac{1}{4}\ln
\left( 1+x^{2}\right) \right) $
Comme quoi, il vaut mieux réfléchir le matin que le soir !

Répondre

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 4 invités