Suites de Cauchy

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
Rock57

Suites de Cauchy

Message par Rock57 » 18 nov. 2012 14:20

Bonjour,
Je dois démontrer que (un) est de Cauchy équivalent à pour p fixé dans N*, lim u(n+p)-un=0. Pourriez vous me donner des pistes pour commencer s'il vous plaît ?
Merci.

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Re: Suites de Cauchy

Message par bullquies » 18 nov. 2012 14:50

calcule $ u_{n+p}-u_n $ et montre que ça tend vers 0 quel que soit p!
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona

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Re: Suites de Cauchy

Message par Rock57 » 18 nov. 2012 14:54

C'est la question posée !

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Re: Suites de Cauchy

Message par David » 18 nov. 2012 15:58

montrer que la limite de $ u_{n+p}-u_n $ est nulle à p fixé ne suffit pas (ex: $ u_n=\ln n $ vérifie bien cela alors qu'elle diverge).

Montrer qu'une suite est de Cauchy revient à montrer que $ \lim\limits_{n\to +\infty} \sup\limits_{p\in\mathbb{N}} |u_{n+p}-u_n|=0 $
David Rupprecht
Professeur de mathématiques en MPI/MPI* (Lycée Fermat - Toulouse)

Xant

Re: Suites de Cauchy

Message par Xant » 18 nov. 2012 18:03

Tu n'as pas précisé si (Un) est a valeurs dans un espace complet.
Si tel est le cas, alors il y a équivalence entre suite de Cauchy et suite convergente. Donc on peut appeler l la limite de ta suite.
Reflechis ensuite sur |$ u_{n+p} - l - u_{n} + l $| et montre que c'est inférieur a epsilon a partir d'un certain rang.

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Re: Suites de Cauchy

Message par Sylvie Bonnet » 18 nov. 2012 18:48

Xant, vous avez mal lu la question!
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