Inégalité de Jensen

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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Earth
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Inégalité de Jensen

Message par Earth » jeu. févr. 16, 2006 10:20 pm

Bonsoir,
L'inégalité de Jensen et l'inégalité de convexité désigne le même "théorème", non ???

jojo
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Message par jojo » jeu. févr. 16, 2006 10:28 pm

Salut,
j'avoue que je ne peux pas répondre avec certitude, mais je pense (pas sur) que l'inégalité de convexité est tout simplement la définition `écrite et rigoureuse` de la convexité.
L'inégalité de Jensen est quelque chose de vraiment très général, qui explicite grosso modo (rien de rigoureux) le fait que si tu as une mesure de probabilité et une fonction convexe, alors tu peux comparer l'image de l'intégrale et l'intégrale de l'image par cette fonction, par rapport à ta mesure de probabilité.

En esperant avoir été clair.
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Re: Inégalité de Jensen

Message par » jeu. févr. 16, 2006 10:30 pm

Earth a écrit :Bonsoir,
L'inégalité de Jensen et l'inégalité de convexité désigne le même "théorème", non ???


Aucune idée... Ca dépend de la définition que l'on rpend pour la convexité: si c'est par l'inégalité avec les barycentres à coefficients positifs de deux points, cette inégalité n'est pas un théorème mais une définition, et l'inégalité de Jensen est alors un théorème (s'en est une conséquence). Mais on pourrait aussi prendre l'inégalité de Jensen comme définition. Ou encore, restreindre l'étude des fonctions convexes aux fonctions dérivables et prendre comme définition la croissance de la dérivée pour en déduire toutes les inégalités, qui seront alors toutes des théorèmes. Je ne sais pas quelle présentation est la plus courante en sup. Pour ma part, J'avais la définition avec les barycentre à coefficients positifs de deux points et l'inégalité de Jensen était un théorème.

MooMooB
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Message par MooMooB » ven. févr. 17, 2006 11:21 am

Dans le programme CPGE en pdf disponible sur ce site, l'inégalité de Jensen est en effet appelé "inégalité de convexité", je regardais tout ca hier, et je me faisais le meme remarque...
Je crois que dire Jensen lève tout ambiguïté.
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