integrale double

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Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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dam$
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integrale double

Message par dam$ » sam. févr. 25, 2006 12:56 pm

Bonjour, je dbute sur les integrales doubles et j'ai un probleme sur un changement de variable au niveau du domaine d'integration :

Il s'agit de calculer la double integrale sur le domaine D de $ (x^2-y^2)cos(xy) $ avec D l'ensemble des x et y reels tels que : 21 , x
Je vais poser u=x+y et v=xy cela ne fait aucun doute mais meme en dessinant le domaine je n'arrive pas a trouver les bornes correctes sur u et v...

Pourriez vous m'expliquer la demarche a suivre pour les obtenir ??

Merci a tous

JMD
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Message par JMD » sam. févr. 25, 2006 5:51 pm

Je ne vois pas l'intérêt du changement de variable x,y -> u,v
qui introduit un radical dans la fonction à intégrer,
radical qu'il va falloir faire disparaître,
probablement par un autre changement de variable

Pourquoi ne pas tracer dans le plan x,y les courbes x+y=2....
pour trouver le domaine ?

Ensuite, un programme maple calcule les intégrales nécessaires sans difficulté particulière
Quant à faire le calcul à la main, il faut être masochiste

Si je ne me suis pas trompé, l'intégrale vaut 2,660934249
Jean Marc Drocourt

dam$
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Message par dam$ » sam. févr. 25, 2006 6:57 pm

Bonjour et merci d'avoir repondu

Le changement de variables est imposé par l'enoncé mais ce n'est pas un probleme car avec ce changement de variable, le jacobien se chargera d'eliminer le facteur (x-y) et j'aurai du ucos(v) a integrer...

Cela dit j'ai dessiné le domaine mais je n'arrive pas plus a en deduire les bornes...

JeanN
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Message par JeanN » sam. févr. 25, 2006 7:50 pm

Oui, on peut calculer à la main cette intégrale...
xy varie entre 1 et 4 il me semble
Et je trouve 9,6 environ
[Réponse hâtive et fausse...]
Modifié en dernier par JeanN le dim. févr. 26, 2006 12:16 am, modifié 1 fois.
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Message par JMD » sam. févr. 25, 2006 11:40 pm

Pour obtenir les limites du domaine en u,v
il faut traduire les conditions sur x,y et en outre
exprimer que x et y, racines d'une équation du second degré, existent
Jean Marc Drocourt

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Message par JeanN » sam. févr. 25, 2006 11:52 pm

On peut aussi faire un petit dessin et remarquer qu'un point du domaine est l'intersection d'une droite d'équation x+y=c avec c entre 2 et 4 et d'une branche d'hyperbole équilatère d'équation xy=c avec c entre 1 et 4.
J'espère quand même ne pas être complètement à côté de la plaque...
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Message par JMD » dim. févr. 26, 2006 12:05 am

JeanN a écrit :On peut aussi faire un petit dessin et remarquer qu'un point du domaine est l'intersection d'une droite d'équation x+y=c avec c entre 2 et 4 et d'une branche d'hyperbole équilatère d'équation xy=c avec c entre 1 et 4.
J'espère quand même ne pas être complètement à côté de la plaque...


Par exemple,cherche x,y associés à x + y =3 et xy = 3
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Message par JeanN » dim. févr. 26, 2006 12:07 am

Je savais bien que j'étais fatigué :oops:
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Message par JeanN » dim. févr. 26, 2006 12:16 am

Bon, ça marche quand même bien avec l'idée de JMD : on trouve
6sin(1)+2cos(4)-2cos(1) à peu près égal à 2,66093406
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Message par dam$ » dim. févr. 26, 2006 1:33 pm

J'ai tracé le domaine et il est delimité par trois points en fait (intersection de y=-x+4 avec y=1/x , celle de y=-x+4 avec y=x et celle de y=-x+2 avec y=x (ou 1/x ca revient au meme)) et grace a ces trois points j'ai le minimum de x (2-racine(3)) et son maximum (2) et de meme pour y (1 et 2+racine(3))...

Le probleme c'est que si je les combine pour avoir u et v je trouve des minimums et maximums qui contredisent 2

JeanN
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Message par JeanN » dim. févr. 26, 2006 3:21 pm

Pour repérer un point dans ce domaine grâce à u=xy et v=x+y, il te faut étant donné ces paramètres u et v trouver une solution réelle à l'équation T^2-v*T+u ce qui revient géométriquement à trouver une intersection non vide entre la droite d'équation x+y=u et l'hyperbole y=v/x
v varie clairement entre 2 et 4 et quand v est fixé, u varie entre 1 et une certaine borne déterminée par la condition de positivité du discriminant.
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