exo

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
jaber

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Message par jaber » 16 mars 2006 13:57

Je vous propose l'exercice suivant:
etant donée deux entiers a et b tq pour tous entier n
(a^n)-1 devise (b^n)-1
montrez qu'il existe un entier k tq b=a^k

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Message par JeanN » 16 mars 2006 15:08

Bel exercice tiré de la RMS... Avec des collègues on s'est beaucoup "creusé la tête" mais pour peu de résultats...
Si tu connais la solution, je suis intéressé ;)
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emmo

Message par emmo » 16 mars 2006 17:15

qu'est-ce que le RMS? (je suppose que si vous n'avez pas réussi à le faire, il faut au moins bac+5 pour s'attaquer à ce problème??)

emmo

Message par emmo » 16 mars 2006 18:05

les RMS est-ce ça??:
http://www.rms-math.com/

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Message par JeanN » 16 mars 2006 18:17

Oui
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emmo

Message par emmo » 16 mars 2006 18:33

donc ce n'est pas accessible avant bac+5??

Message par » 16 mars 2006 19:11

emmo a écrit :donc ce n'est pas accessible avant bac+5??
C'est en partie accessible dès la sup.

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dSP

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Message par dSP » 16 mars 2006 20:35

Attention, ceci est un exo d'analyse camouflé sous une apparence arithmétique !!

Voici une démonstration que j'ai trouvée, sur une idée de départ de Jean-Pierre Barani qui m'a été communiquée par Nicolas Tosel.

On note $ u_n:=\frac{b^n-1}{a^n-1} $. On raisonne par l'absurde en supposant que $ u $ est à valeurs entières mais que $ b $ n'est pas une puissance de $ a $.

1) On développe $ u_n $ sous la forme $ u_n=(b^n-1)\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\sum}}\frac{1}{(a^k)^n}=\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\sum}}\Bigl(\frac{b}{a^k}\Bigr)^n-
\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\sum}}\Bigl(\frac{1}{a^k}\Bigr)^n $

2) On note $ T_k $ l'opérateur qui à toute suite $ v $ associe la suite $ (a^kv_{n+1}-bv_n) $. Remarquons que si $ v $ est à termes entiers, la suite $ T_k(v) $ l'est aussi.

D'autre part, toute suite géométrique non nulle est vecteur propre de l'opérateur $ T_k $, de valeur propre associée $ 0 $ si et seulement si la raison vaut $ \frac{b}{a^k} $.

3) Le terme général de la suite $ (T_N \circ T_{N-1} \circ ... \circ T_1)(u) $ s'écrit sous la forme $ \underset{k=N+1}{\overset{+\infty}{\sum}}
\alpha_k^{(N)}\Bigl(\frac{b}{a^k}\Bigr)^n-
\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\sum}}\beta_k^{(N)}
\Bigl(\frac{1}{a^k}\Bigr)^n, $
$ (\alpha_k^{(N)})_{k \geq N} $ et $ (\beta_k^{(N)})_{k \geq 1} $ sont deux suites bornées de réels non nuls.

4) Si on choisit $ N $ strictement plus grand que $ \frac{\ln b}{\ln a} $, alors la suite $ (T_N \circ T_{N-1} \circ ... \circ T_1)(u) $ converge vers $ 0 $. Comme c'est une suite d'entiers, elle est en fait nulle à partir d'un certain rang.

5) Les deux sommes $ \underset{k=N+1}{\overset{+\infty}{\sum}}
\alpha_k^{(N)}\Bigl(\frac{b}{a^k}\Bigr)^n $ et $ \underset{k=1}{\overset{+\infty}{\sum}}
\beta_k^{(N)}\Bigl(\frac{1}{a^k}\Bigr)^n $
sont égales à partir d'un certain rang, et équivalentes
chacune à leur premier terme lorsque $ n $ tend vers $ +\infty $.
Ceci impose que $ \frac{b}{a^{N+1}}=\frac{1}{a} $, d'où $ b=a^N $. On a contredit l'hypothèse de départ.
Professeur de Mathématiques en MP*/MPI* au lycée Hoche

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Message par JeanN » 17 mars 2006 02:14

Bravo aux lyonnais !! ;)
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