exo
Attention, ceci est un exo d'analyse camouflé sous une apparence arithmétique !!
Voici une démonstration que j'ai trouvée, sur une idée de départ de Jean-Pierre Barani qui m'a été communiquée par Nicolas Tosel.
On note $ u_n:=\frac{b^n-1}{a^n-1} $. On raisonne par l'absurde en supposant que $ u $ est à valeurs entières mais que $ b $ n'est pas une puissance de $ a $.
1) On développe $ u_n $ sous la forme $ u_n=(b^n-1)\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\sum}}\frac{1}{(a^k)^n}=\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\sum}}\Bigl(\frac{b}{a^k}\Bigr)^n-
\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\sum}}\Bigl(\frac{1}{a^k}\Bigr)^n $
2) On note $ T_k $ l'opérateur qui à toute suite $ v $ associe la suite $ (a^kv_{n+1}-bv_n) $. Remarquons que si $ v $ est à termes entiers, la suite $ T_k(v) $ l'est aussi.
D'autre part, toute suite géométrique non nulle est vecteur propre de l'opérateur $ T_k $, de valeur propre associée $ 0 $ si et seulement si la raison vaut $ \frac{b}{a^k} $.
3) Le terme général de la suite $ (T_N \circ T_{N-1} \circ ... \circ T_1)(u) $ s'écrit sous la forme $ \underset{k=N+1}{\overset{+\infty}{\sum}}
\alpha_k^{(N)}\Bigl(\frac{b}{a^k}\Bigr)^n-
\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\sum}}\beta_k^{(N)}
\Bigl(\frac{1}{a^k}\Bigr)^n, $
où $ (\alpha_k^{(N)})_{k \geq N} $ et $ (\beta_k^{(N)})_{k \geq 1} $ sont deux suites bornées de réels non nuls.
4) Si on choisit $ N $ strictement plus grand que $ \frac{\ln b}{\ln a} $, alors la suite $ (T_N \circ T_{N-1} \circ ... \circ T_1)(u) $ converge vers $ 0 $. Comme c'est une suite d'entiers, elle est en fait nulle à partir d'un certain rang.
5) Les deux sommes $ \underset{k=N+1}{\overset{+\infty}{\sum}}
\alpha_k^{(N)}\Bigl(\frac{b}{a^k}\Bigr)^n $ et $ \underset{k=1}{\overset{+\infty}{\sum}}
\beta_k^{(N)}\Bigl(\frac{1}{a^k}\Bigr)^n $
sont égales à partir d'un certain rang, et équivalentes
chacune à leur premier terme lorsque $ n $ tend vers $ +\infty $.
Ceci impose que $ \frac{b}{a^{N+1}}=\frac{1}{a} $, d'où $ b=a^N $. On a contredit l'hypothèse de départ.
Voici une démonstration que j'ai trouvée, sur une idée de départ de Jean-Pierre Barani qui m'a été communiquée par Nicolas Tosel.
On note $ u_n:=\frac{b^n-1}{a^n-1} $. On raisonne par l'absurde en supposant que $ u $ est à valeurs entières mais que $ b $ n'est pas une puissance de $ a $.
1) On développe $ u_n $ sous la forme $ u_n=(b^n-1)\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\sum}}\frac{1}{(a^k)^n}=\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\sum}}\Bigl(\frac{b}{a^k}\Bigr)^n-
\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\sum}}\Bigl(\frac{1}{a^k}\Bigr)^n $
2) On note $ T_k $ l'opérateur qui à toute suite $ v $ associe la suite $ (a^kv_{n+1}-bv_n) $. Remarquons que si $ v $ est à termes entiers, la suite $ T_k(v) $ l'est aussi.
D'autre part, toute suite géométrique non nulle est vecteur propre de l'opérateur $ T_k $, de valeur propre associée $ 0 $ si et seulement si la raison vaut $ \frac{b}{a^k} $.
3) Le terme général de la suite $ (T_N \circ T_{N-1} \circ ... \circ T_1)(u) $ s'écrit sous la forme $ \underset{k=N+1}{\overset{+\infty}{\sum}}
\alpha_k^{(N)}\Bigl(\frac{b}{a^k}\Bigr)^n-
\underset{k=1}{\overset{+\infty}{\sum}}\beta_k^{(N)}
\Bigl(\frac{1}{a^k}\Bigr)^n, $
où $ (\alpha_k^{(N)})_{k \geq N} $ et $ (\beta_k^{(N)})_{k \geq 1} $ sont deux suites bornées de réels non nuls.
4) Si on choisit $ N $ strictement plus grand que $ \frac{\ln b}{\ln a} $, alors la suite $ (T_N \circ T_{N-1} \circ ... \circ T_1)(u) $ converge vers $ 0 $. Comme c'est une suite d'entiers, elle est en fait nulle à partir d'un certain rang.
5) Les deux sommes $ \underset{k=N+1}{\overset{+\infty}{\sum}}
\alpha_k^{(N)}\Bigl(\frac{b}{a^k}\Bigr)^n $ et $ \underset{k=1}{\overset{+\infty}{\sum}}
\beta_k^{(N)}\Bigl(\frac{1}{a^k}\Bigr)^n $
sont égales à partir d'un certain rang, et équivalentes
chacune à leur premier terme lorsque $ n $ tend vers $ +\infty $.
Ceci impose que $ \frac{b}{a^{N+1}}=\frac{1}{a} $, d'où $ b=a^N $. On a contredit l'hypothèse de départ.
Professeur de Mathématiques en MP*/MPI* au lycée Hoche