équations polynomiales ...

[benji]

salut !

je bloque sur quelques équations , qu'il faut résoudre sur R[X], avec P un polynôme :
1) P(X²)= (P(X))²
2) P(1-2X)= P(X)
3) P(XY)=P(X)P(Y)

pour 1) , j'ai composé par le degré. cela me donne 2 deg P(X)= deg P(X²) donc le polynôme sera de degré 1 ( est ce un raisonnement valable ? ). sinon je bloque sur les autres ..

merci pour votre aide

[lhommekipasse]

Pour le premier, je pense que ton raisonnement est faux parce que X^2 convient.

Pour la troisième, si z est racine, alors tout zy est racine, ce qui veut dire que soit P est nul, soit il admet que 0 comme racine.
Après, il n'y a plus qu'à se placer sur C (l'égalité est toujours valable sur C car il s'agit d'une égalité des coefficients), et à en déduire qu'un polynome qui n'admet que 0 comme racine est de la forme A*X^n. Ici A=1.

Je chercherais aussi dans cette direction pour les deux premiers

[Mû]

pour 1) , j'ai composé par le degré. cela me donne 2 deg P(X)= deg P(X²) donc le polynôme sera de degré 1 ( est ce un raisonnement valable ? ).

Non puisque c'est faux... Pour être sûr qu'un raisonnement est valable, le mieux est d'invoquer un théorème ou une propriété du cours. En l'occurence, deg(P(X^2))=2 deg(P(X)) et ça n'avance à rien...
La démarche suggérée par l'autre message est intéressante: chercher des racines complexes. Dans notre cas, si z désigne une racine de P, on peut en construire des tonnes d'autres grâce à la relation P(X)^2=P(X^2).

[benji]

merc beaucoup pour votre aide