Euclidiens: Projeté orthogonal

[m@tix]

Bonsoir,

Dans une question d'un exo, on pose la chose suivante:

On note $ (e_1,e_2,e_3) $ la base canonique de $ \mathbb{R^3} $. Déterminer (pour le produit scalaire $ \phi $, donné précédemment) la norme de $ e_1 $ ainsi que le projeté orthogonal de $ e_2 $ sur la droite $ \mathbb{R} e_1 $.

J'ai déterminé la norme de $ e_1 $ grâce aux questions précédentes, et on trouve que $ ||e_1||^2=1 $.
Cependant, pour la suite, pour le projété orthogonal, notre prof nous l'a corrigé, mais je ne comprends pas du tout sa correction. Pouvez-vous me l'expliquer en détail svp pour que je comprenne sa démarche?

Correction:
$ e_1 $ est unitaire donc (???) le projeté orthogonal de $ e_2 $ sur $ \mathbb{R} e_1 $ est:
$ \phi(e_2,e_1)e_1=(\frac{1}{2},0,0) $.

D'où sort ce calcul? Et pourquoi ce "donc"?

Précisions:

Dans l'énoncé, on nous donnait la forme quadratique, et j'ai alors déterminé la forme polaire $ \phi $ correspondante:

$ q(x,y,z) = x^2 +xy +\frac{2}{3}xz + \frac{1}{3}y^2 + \frac{1}{2}yz + \frac{1}{5}z^2 $


$ \Longrightarrow \phi(u,v)=\phi((x,y,z),(x',y',z'))=xx'+\frac{1}{2}(xy'+x'y)+\frac{1}{3}(xz'+x'z)+\frac{1}{3}yy'+\frac{1}{4}(yz'+y'z)+\frac{1}{5}zz' $

Cela éclaire-t-il quelqu'un?

[Sylvie Bonnet]

Bonsoir,

Dans une question d'un exo, on pose la chose suivante:

On note $ (e_1,e_2,e_3) $ la base canonique de $ \mathbb{R^3} $. Déterminer (pour le produit scalaire $ \phi $, donné précédemment) la norme de $ e_1 $ ainsi que le projeté orthogonal de $ e_2 $ sur la droite $ \mathbb{R} e_1 $.

J'ai déterminé la norme de $ e_1 $ grâce aux questions précédentes, et on trouve que $ ||e_1||^2=1 $.
Cependant, pour la suite, pour le projété orthogonal, notre prof nous l'a corrigé, mais je ne comprends pas du tout sa correction. Pouvez-vous me l'expliquer en détail svp pour que je comprenne sa démarche?

Correction:
$ e_1 $ est unitaire donc (???) le projeté orthogonal de $ e_2 $ sur $ \mathbb{R} e_1 $ est:
$ \phi(e_2,e_1)e_1=(\frac{1}{2},0,0) $.

D'où sort ce calcul? Et pourquoi ce "donc"?

C'est la formule pour le calcul du projeté orthogonal d'un vecteur sur une droite.
Ca doit être dans votre cours. Sinon, vous pouvez l'établir en cherchant le coefficient alpha de proportionnalité entre le projeté de e2 et e1. Vous trouverez alpha=phi(e1,e2)