On procède par récurrence sur $ n $.
Pour $ n=d+1 $ c'est immédiat par hypothèse.
Pour l'hérédité, on dispose de $ n+1 $ convexes $ C_1,..,C_n,C_{n+1} $ de $ \mathbb{R}^d $ tel que l'on a pour toute partie $ I $ de cardinal $ d+1 $, $ \bigcap \limits_{i\in I} C_i\ne \emptyset $.
Soit $ j\in\{1,...,n+1\} $, on sait par hypothèse de récurrence que pour tout $ k\ne j $ on a : $ \underset{k\ne j}{\bigcap \limits_{k=1}^{n+1}} C_k\ne \emptyset $. Pour chaque $ j $, il existe un vecteur $ x_j $ qui est dans l'intersection et n'appartient pas à $ C_j $. On a l'existence alors de $ n+1 $ vecteurs et comme $ n+1>d $, on obtient alors une famille liée. Donc il existe $ n+1 $ réels $ a_1,...,a_n,a_{n+1} $ non tous nul tel que : $ a_1 x_1+...+a_{n+1}x_{n+1}=0 $.
On choisit des coefficients positifs et négatifs. Notons par exemple, $ b_1,...,b_i $ les coefficients positifs et $ c_{i+1},...,c_{n+1} $ les coefficients négatifs.
On obtient alors le vecteur $ \textbf{v}=b_1 x_1+...+b_i x_i=-c_{i+1}x_{i+1}-...-c_{n+1}x_{n+1} $ qui a la propriété de bien appartenir au $ n+1 $ convexes, donc l'intersection n'est pas vide.
La propriété est donc vraie pour tout $ n\ge d+1 $.