Exos classiques MP

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
Marrakchino

Re: Exos classiques MP

Message par Marrakchino » 15 févr. 2015 19:53

omaaar a écrit :Bonsoir tout le monde,
(70) " Lemme d'Hadamard"
Soit A une matrice de Mn(C) a diagonale dominante càd quelque soit i de {1;...;n} , on a
abs(a_i,i)>Sigma(a_i,j) tel que i!=j ,
Montrer que A est inversible .

incontournable !
Oui, mais déjà proposé page 1.

Re-UP du topic, je trouve ça très intéressant !

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Re: Exos classiques MP

Message par gchacha » 30 avr. 2016 15:39

Bonjour, voici un re-up de ce topic intéressant.

Voici deux théorèmes classiques je pense :

(71) Soit $ (S_n)_{n\in\mathbb{N}} $ la suite des sommes partielles de la série $ \sum\limits_{n\ge0} b_n $. Si $ \lim\limits_{n\to+\infty} \frac{S_0+...+S_n}{n+1}=l $ avec $ l $ qui existe et est finie. Alors pour $ \vert x\vert<1 $, la série $ \sum\limits_{n\ge0} b_n x^n $ converge et $ \lim \limits_{x\to 1}\sum\limits_{n\ge0} b_n x^n=l $.

(72) Soit $ (v_n)_{n\in \mathbb{N}^* $ une suite décroissante à termes positifs telle que la série $ \sum \limits_{n\ge 1} v_n $ converge. Alors $ \lim \limits_{n\to+\infty} nv_n=0 $.
SPOILER:
Pour celui-ci, sintéresser à $ S_2n -S_n $ où $ S_n $ représente la n ème somme partielle

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Re: Exos classiques MP

Message par gchacha » 12 juil. 2016 22:04

KGD a écrit :Au passage, tant qu'on parle du sujet maths-info, on peut aussi rajouter (parce que c'est sympa et que ce n'est pas forcément évident à improviser le jour J)

(66): Soit E un $ \mathbb R $-espace vectoriel de dimension d et soient $ C_1, \dots, C_n $ des convexes de E.
Montrer (par récurrence) que si $ n \ge d+1 $ et que pour toute partie $ I \subset \{1, \dots, n\} $ de cardinal d+1, on a $ \displaystyle \bigcap_{i \in I} C_i \ne \emptyset $, alors $ \displaystyle \bigcap_{i =1}^n C_i \ne \emptyset $

Je me lance :
SPOILER:
On procède par récurrence sur $ n $.

Pour $ n=d+1 $ c'est immédiat par hypothèse.

Pour l'hérédité, on dispose de $ n+1 $ convexes $ C_1,..,C_n,C_{n+1} $ de $ \mathbb{R}^d $ tel que l'on a pour toute partie $ I $ de cardinal $ d+1 $, $ \bigcap \limits_{i\in I} C_i\ne \emptyset $.
Soit $ j\in\{1,...,n+1\} $, on sait par hypothèse de récurrence que pour tout $ k\ne j $ on a : $ \underset{k\ne j}{\bigcap \limits_{k=1}^{n+1}} C_k\ne \emptyset $. Pour chaque $ j $, il existe un vecteur $ x_j $ qui est dans l'intersection et n'appartient pas à $ C_j $. On a l'existence alors de $ n+1 $ vecteurs et comme $ n+1>d $, on obtient alors une famille liée. Donc il existe $ n+1 $ réels $ a_1,...,a_n,a_{n+1} $ non tous nul tel que : $ a_1 x_1+...+a_{n+1}x_{n+1}=0 $.
On choisit des coefficients positifs et négatifs. Notons par exemple, $ b_1,...,b_i $ les coefficients positifs et $ c_{i+1},...,c_{n+1} $ les coefficients négatifs.
On obtient alors le vecteur $ \textbf{v}=b_1 x_1+...+b_i x_i=-c_{i+1}x_{i+1}-...-c_{n+1}x_{n+1} $ qui a la propriété de bien appartenir au $ n+1 $ convexes, donc l'intersection n'est pas vide.

La propriété est donc vraie pour tout $ n\ge d+1 $.

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Re: Exos classiques MP

Message par Bidoof » 22 juil. 2016 13:53

On peut travailler sur la caractérisation des sous groupes de $ (\mathbb{R},+) $ en MPSI.
Pourquoi l'avoir mis en classique MP ?
Cette question n'est absolument pas une critique et vient bien d'une certaine curiosité à utiliser le chapitre sur la topologie des espaces vectoriels normé.

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Re: Exos classiques MP

Message par Tornado99 » 26 déc. 2018 20:43

Je trouve ce sujet très intéressant. Quelqu'un aurait d'autres exos classiques à connaître ( ou une liste si cela existe ) ?
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Re: Exos classiques MP

Message par Syl20 » 26 déc. 2018 21:10

Les Cassini
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Re: Exos classiques MP

Message par Tornado99 » 26 déc. 2018 21:21

C'est long les Cassini et un peu trop dur pour moi j'en ai bien peur
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Re: Exos classiques MP

Message par oty20 » 29 déc. 2018 20:02

j'ai jamais travaillé sur les Cassini, Il n' est vraiment pas nécessaire de faire bcps d'exos, tu peux choisir quelque uns à ton gout par chapitres c'est suffisant.

Si le TD de ton prof ne te plait pas, tu pourrais construire ton propre TD, le site bibmath permet de le faire entre autres.
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Re: Exos classiques MP

Message par certus » 15 janv. 2019 15:17

A un polynôme de C[X] avec A(0)=0 et A'(0) non nul
Montrer qu'il existe B un polynôme de C[X] tel que
B(A(X)) = X+X^nT(X)

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