Exos classiques MP

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Exos classiques MP

Message par Necklor » 08 mars 2014 20:25

Bonjour,

Comme l'idée initiale me semblait bonne, pour nombre raisons, et que le topic a été supprimé sans raison apparente je me permets de relancer le sujet.

Ce topic a pour objet de regrouper bon nombres d'exercices, dits "classiques", qui permettra aux taupins de connaitre beaucoup d'astuces, et donc de grandement faciliter la réflexion sur d'autres exercices plus difficiles.

Pour ce qui est du niveau de l'exercice, je ne pense pas que ce soit utile de le préciser, puisque de toute manière les exos listés sur ce topic sont à savoir "par coeur".

Par contre il serait judicieux de les numéroter (pour qu'on puisse faire correspondre sa correction, à chaque exercice).
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Re: Exos classiques MP

Message par Necklor » 08 mars 2014 20:30

(1) Soit $ A \in M_n(\mathbb C) $ telle que pour tout $ k \in \mathbb N^* $ : $ Tr(A^k) = 0 $.
Montrer que $ A $ est nilpotente.
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Re: Exos classiques MP

Message par Transcender » 08 mars 2014 20:46

(2) Soient A et B deux matrices de Mn( R ), Montrer que AB et BA ont le même polynôme caractéristique.
( C'est un extrait d'un écrit mines ponts MP ou y a deux questions avec des indications ).
(3) Montrer que On( R ) (ensemble des matrices orthogonales) est un compact de Mn( R ).
Dernière modification par Transcender le 09 mars 2014 14:44, modifié 1 fois.
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Re: Exos classiques MP

Message par brank » 08 mars 2014 20:49

Transcender a écrit :(2) Soient A et B deux matrices de Mn( R ), Montrer que AB et BA ont le même polynôme caractéristiques.
( C'est un extrait d'un écrit mines ponts MP ou y a deux questions avec des indications ).
(3) Montrer que On( R ) (ensemble des matrices orthogonales) est un compact de Mn( R ).

Le premier c'est juste une astuce, le 2ème est trivial.
C'est une fiotte.

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Re: Exos classiques MP

Message par Transcender » 08 mars 2014 20:52

Le (2) se base sur une astuce, certes, mais c'est une astuce qu'il faut connaître pour le réussir, sinon c'est assez difficile. Le (3) j'avoue qu'il est facile mais c'est un grand classique qu'il faut connaître et je connais beaucoup de gens qui se sont foirés en essayant de montrer qu' On( R ) est borné.
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Re: Exos classiques MP

Message par MATHADOR » 08 mars 2014 20:55

(4) Soit un entier $ n \geqslant 2 $. Montrer que tout hyperplan de $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) $ contient une matrice inversible.

C'est pas spécifique MP mais bon...
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Re: Exos classiques MP

Message par muhu » 08 mars 2014 21:02

(5) Montrer que si deux matrices carées réelles sont semblables dans $ {\mathcal M}_n({\mathbb C}) $, elles le sont dans $ {\mathcal M}_n({\mathbb R}) $.
(6) Montrer que toute matrice carrée de trace nulle est semblable à une matrice à digonale nulle.
Dernière modification par muhu le 08 mars 2014 21:03, modifié 1 fois.

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Re: Exos classiques MP

Message par Transcender » 08 mars 2014 21:03

(7) Montrer que Dn( C ) (ensemble des matrices diagonalisables) est dense dans Mn( C ).
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Re: Exos classiques MP

Message par Windu » 08 mars 2014 21:09

(8) Soit A dans Sn++(IR). Montrer qu'il existe une (unique) matrice B de Sn++(IR) telle que A=B^2. L'unicité est un peu plus difficile, mais l'existence sert souvent.

muhu

Re: Exos classiques MP

Message par muhu » 08 mars 2014 21:10

(9)Lemme de Hadamard, disque de Gershgorin
Soit $ A=(a_{ij})_{1\leq i,j \leq n} \in {\mathcal M}_n({\mathbb C}) $. Pour tout $ i \in \{1,\cdots,n\} $, on pose: $ R_i=\displaystyle \sum_{1 \leq j \leq n \\ j \neq i} |a_{ij}| $
On note $ \Delta_i $ le disque ouvert de centre $ a_{ii} $ et de rayon $ R_i $ et soit $ \Delta=\displaystyle\cup_{i=1}^n \Delta_i $
  1. On suppose que pour tout $ i \in \{1,\cdots,n\} $,on a $ |a_{ii}| > R_i $. Montrer que la matrice $ A $ est inversible.
  2. Montrer que $ \text{Sp}(A) \subset \Delta $
  3. On suppose de nouveau que pour tout $ i \in \{1,\cdots,n\} $,on a $ |a_{ii}| > R_i $. Montrer que:
    $ |\det(A)| \geq \displaystyle \prod_{i=1}^n (|a_{ii}|-R_i). $
  4. On suppose que $ A \in {\mathcal M}_n({\mathbb R}) $et que pour tout $ i \in \{1,\cdots,n\} $,on a $ a_{ii} > R_i $. Montrer que:
    $ \det(A) \geq \displaystyle \prod_{i=1}^n (|a_{ii}|-R_i). $

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