Condition Suffisante pour Dériver un Equivalent
Condition Suffisante pour Dériver un Equivalent
Il est bien connu que si g est de signe constant et non intégrable au voisinage de +oo, et que f et g équivalentes en +oo, alors l'équivalence passe à l'intégration.
En revanche, il semble dans le cas général beaucoup plus délicat de dériver un équivalent, puisque un contrôle epsilonnesque, aussi fin qu'il soit, sur f (par différence avec une fonction g) ne présume en rien du comportement de f' (penser à f(t)=1 et g(t)=1+(e^-t)sin(e^(4t)))
Dès lors, l'on peut penser que pour éviter de tels effets, une éventuelle condition suffisante pour dériver un équivalent porterait sur la dérivée seconde de f (qui empêcherait des variations extrêmement rapides comme ci-dessus).
Je propose donc comme hypothèses (condition suffisante):
• f'/f admet une limite non nulle en +oo
• f''=O(f') en +oo
Qu'en pensez-vous ?
En revanche, il semble dans le cas général beaucoup plus délicat de dériver un équivalent, puisque un contrôle epsilonnesque, aussi fin qu'il soit, sur f (par différence avec une fonction g) ne présume en rien du comportement de f' (penser à f(t)=1 et g(t)=1+(e^-t)sin(e^(4t)))
Dès lors, l'on peut penser que pour éviter de tels effets, une éventuelle condition suffisante pour dériver un équivalent porterait sur la dérivée seconde de f (qui empêcherait des variations extrêmement rapides comme ci-dessus).
Je propose donc comme hypothèses (condition suffisante):
• f'/f admet une limite non nulle en +oo
• f''=O(f') en +oo
Qu'en pensez-vous ?
Re: Condition Suffisante pour Dériver un Equivalent
Dans le premier tome d'analyse des oraux X-ENS de Cassini, il y a un exercice sur la dérivation d'équivalents. On y démontre que si $ f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ est continue et croissance, en posant $ \displaystyle F(x)=\int_0^x{f(t)dt} $, si il existe $ \alpha > 0 $ tel que $ F(x) \sim \frac{x^\alpha}{\alpha} $ en $ +\infty $ alors $ f(x) \sim x^{\alpha - 1} $ en $ +\infty $. Ca t'aidera peut-être
Re: Condition Suffisante pour Dériver un Equivalent
Je comprends mieux l'incompréhension qu'il peut y avoir entre un candidat et un examinateur lors d'une épreuve orale.The TJFK a écrit :Il est bien connu que si g est de signe constant et non intégrable au voisinage de +oo, et que f et g équivalentes en +oo, alors l'équivalence passe à l'intégration.
Si $ e(t) $ tend vers 0 en $ +\infty $ et $ g(t) = 1+e(t) $, alors $ f(t) \sim g(t) $, mais il est rare que $ f'(t) \sim g'(t) $.En revanche, il semble dans le cas général beaucoup plus délicat de dériver un équivalent, puisque un contrôle epsilonnesque, aussi fin qu'il soit, sur f (par différence avec une fonction g) ne présume en rien du comportement de f' (penser à f(t)=1 et g(t)=1+(e^-t)sin(e^(4t)))
Pour en penser quelque chose, il faudrait un énoncé intelligible.Dès lors, l'on peut penser que pour éviter de tels effets, une éventuelle condition suffisante pour dériver un équivalent porterait sur la dérivée seconde de f (qui empêcherait des variations extrêmement rapides comme ci-dessus).
Je propose donc comme hypothèses (condition suffisante):
• f'/f admet une limite non nulle en +oo
• f''=O(f') en +oo
Qu'en pensez-vous ?
Philippe PATTE
MP maths Lakanal Sceaux
MP maths Lakanal Sceaux
Re: Condition Suffisante pour Dériver un Equivalent
La propriété mentionnée en début de message est l'analogue continu du résultat au programme sur la sommation d'équivalents de séries divergentes (dont l'une à termes positifs), et est donc vraiment dans l'"adhérence" du programme...Je comprends mieux l'incompréhension qu'il peut y avoir entre un candidat et un examinateur lors d'une épreuve orale.
Après avoir réfléchi quelques minutes, il y a une coquille dans ma conjecture précédente: Toutes les hypothèses portaient sur la même fonction f, aucune sur g, et ladite conjecture demeure vulnérable aux cas du style de:
f(t)=e^t et g(t)=e^t+sin(e^(4t))
Intuitivement, on aurait plutôt d'une part une condition qui porte sur g pour éviter un tel comportement "erratique" et une portant sur f pour assurer que f croît (ou décroît) suffisamment vite pour que la condition précédente assure un "calme" relatif
Conjecture:
Soit f et g de classe C2 de IR dans IR
On suppose:
(1)* f équivalent à g en +oo
(2)* f=O(f') en +oo
(3)* g''=O(g') en +oo
Alors f équivalent à g en +oo
Qu'en pensez-vous ?
Edit: Vu que la raison pour laquelle j'ai introduit l'hypothèse (2) est de faire en sorte que l'hypothèse (3) assure un contrôle suffisant de la fonction g, peut-être pourrait-on montrer une version encore plus forte dans laquelle (2) et (3) seraient remplacées par
(4)* fg''=O(f'g') en +oo ...
Re: Condition Suffisante pour Dériver un Equivalent
C'est quoi l'intérêt de démontrer un cas ultra-particulier où c'est tellement facile de trouver des contre-exemples ?
Un truc qui nécessite plus de 3 hypothèses, c'est un peu lourd et sans doute assez limité d'application.
Un truc qui nécessite plus de 3 hypothèses, c'est un peu lourd et sans doute assez limité d'application.
2008-2010 Lycée Kléber Strasbourg (MPSI4 - MP*)
2010-2014 Ecole Polytechnique - Master Physique des Hautes Energies (X-ETH Zürich)
2014-2017 Doctorat Laboratoire Leprince-Ringuet
2017-2018 Post-doc Imperial College
2018-... Chargé de recherche CNRS
2010-2014 Ecole Polytechnique - Master Physique des Hautes Energies (X-ETH Zürich)
2014-2017 Doctorat Laboratoire Leprince-Ringuet
2017-2018 Post-doc Imperial College
2018-... Chargé de recherche CNRS
Re: Condition Suffisante pour Dériver un Equivalent
C'est un exercice de réflexion un peu gratuit, l'efficacité mathématique en terme d'applications n'est peut-être pas le but recherché. Ce n'est jamais vraiment inutile de se poser des questions et d'essayer d'y répondre.C'est quoi l'intérêt de démontrer un cas ultra-particulier où c'est tellement facile de trouver des contre-exemples ?
Un truc qui nécessite plus de 3 hypothèses, c'est un peu lourd et sans doute assez limité d'application.
Re: Condition Suffisante pour Dériver un Equivalent
Pardon
Ce serait plutôt:
"Alors f' équivalent à g' en +oo"
Ce serait plutôt:
"Alors f' équivalent à g' en +oo"
Re: Condition Suffisante pour Dériver un Equivalent
Alors j'ai peut-être calculé un peu vite mais il me semble qu'en prenant g(x)=exp(x) et f(x)=exp(x)*(1+sin(x^2)/(4*x)) on obtient un contre-exemple...
Re: Condition Suffisante pour Dériver un Equivalent
Bonne vacances
Toujours en train de calculer des matrices de rotation