Theoreme de derivation d'une integrale a parametre

[MATHADOR]

Flemme de chercher dans un pdf de 15 pages l'énoncé en question. Après la prépa il est bon d'oublier le théorème de dérivation des intégrales à paramètres qui énonce des "continue par morceaux" et ses hypothèses maladroites mais obligatoires car on a pas la théorie de la mesure. Tu te places dans $ \mathbb{R} $ muni de sa topologie usuelle, $ (E,\mathcal{A},\mu) $ un espace mesuré, $ f:I\times E\longrightarrow \mathbb{R} $ avec $ I $ un intervalle ouvert de $ \mathbb{R} $ et $ t_0\in I $.
Si :
- L'application $ (x\mapsto f(t,x))\in \mathcal{L}^{1} $
- L'application $ t\mapsto f(t,x) $ est $ \mu (dx) $ presque partout dérivable en $ t_0 $
- Il existe $ \varphi\in\mathcal{L}^1 $ à valeurs positives telle que pour tout $ t\in I $ et $ \mu (dx) $ presque partout, on ait $ |f(t,x)-f(t_0,x)|\leqslant \varphi (x)|t-t_0| $
Alors tu peux dériver sous le signe $ \int $

Pour la preuve, elle se fait en 2 lignes de manière séquentielle grâce à ton théorème d'intégration préféré.

[Necklor]

Pour la preuve en prépa, elle se fait aussi en deux lignes

[MATHADOR]

Exact, je ne sais pas pourquoi mais j'avais en tête une preuve (pas non plus très difficile en fait mais qui ne s'applique de toute façon pas ici) en "$ \epsilon /3 $" pour le théorème de prépa.

[Necklor]

La seule démonstration qui est vraiment plus compliquée en prépa concernant ce chapitre, je pense que c'est celle du théorème de convergence dominée.

[MATHADOR]

Le probleme est que dans le programme de l'agreg interne, on travaille avec l'integrale de riemann.