Exercice Algèbre

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Fregiso
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Exercice Algèbre

Message par Fregiso » dim. avr. 12, 2015 3:34 pm

Exercice tiré des oraux de Christophe Rose aux ENS : (on peut facilement trouver le lien sur internet)
Soit A une R algèbre de dimension finie, unitaire, intègre, telle que tout élément non nul est inversible.
Montrer que pour tout x appartenant à A, il existe (b,c) appartenant à R^2 tels que:
x^2-bx-c=0 (en identifiant R et R1A)

Eh beh je bloque et pourtant j'ai cherché. C'est la première question de l'exo en plus, du coup je me dis que c'est peut-être tout simple mais je vois pas.
Une gentille âme pour un indice s'il vous plaît?
Et pour moi le fait que tout élément différent de 0 est inversible entraîne l'intégrité donc j'ai peut-être aussi raté un truc sur la définition.
Merci d'avance

(bon il faut évidemment se servir de l'inversibilité de tous les éléments vu que dans Mn(R) par exemple le degré du polynôme minimal est pas toujours inférieur ou égal à 2, mais à part ça...)

Edit: oui c'est tout con ("il existe un plan ou une droite stable...") shame on me
Désolé...

Bon du coup pour que ce topic ait peut-être un peu d'intérêt je poste la fin de l'exo: (oui idéalement il aurait dû être dans "Exos sympas MP* mais bon...)
Donc:
Soit A une R algèbre de dimension finie, unitaire, intègre, telle que tout élément non nul est inversible.
1.Montrer que pour tout x appartenant à A, il existe (b,c) appartenant à R^2 tel que:
x^2-bx-c=0 (en identifiant R et R1A)
2. Montrer que ∀x ∈ A,x^2 ∈ R+ ⇒ x ∈ R.
3. Soit V = {x ∈ A | x^2 ∈ R−}. Montrer que ∀x ∈ A,∃!d ∈ R | (x − d) ∈ V .
4. Soient x,y ∈ V,e,f ∈ R. Montrer que ex + fy ∈ R ⇒ ex + fy = 0.
5. Montrer que V est un espace vectoriel

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Re: Exercice Algèbre

Message par Fregiso » dim. avr. 12, 2015 9:55 pm

1,2,3 et 4 OK. Si jamais quelqu'un a cherché et a fait aussi la 5 je suis preneur, je trouve pas et j'ai la flemme de chercher plus.
Encore désolé d'avoir ouvert un sujet "inutile".
Modifié en dernier par Fregiso le dim. avr. 12, 2015 10:38 pm, modifié 1 fois.

Ali_J
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Re: Exercice Algèbre

Message par Ali_J » dim. avr. 12, 2015 10:03 pm

Quel plan/droite stable ? Quel endomorphisme considérez vous ?
2012-2013: MPSI 3 Salé
2013-2014: MP 1 Salé
2014-2015 : MP* Lycée Henri Wallon.
2015- : ENSAE Paristech

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Re: Exercice Algèbre

Message par Fregiso » dim. avr. 12, 2015 10:06 pm

C'était une analogie, c'est tout.
dimension finie => polynôme annulateur non nul => si appartient pas déjà à R (dans de cas-là trivial) alors par intégrité yaura un polynôme de degré 2 qui l'annule

Pour les endomorphismes c'est par non injectivité

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Re: Exercice Algèbre

Message par Fregiso » dim. avr. 12, 2015 10:13 pm

Soit dit en passant c'est amusant quand même comme l'algèbre n'est souvent que de la "réorganisation" d'égalité. Fondamentalement pas très intuitive, comparée à l'analyse qu'on peut plus rapprocher de notre expérience propre (vitesse, aller vers, plus grand...etc).
Très déroulement robotique (j'ai pas dit stupide!) d'axiomes l'algèbre.

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Re: Exercice Algèbre

Message par bullquies » lun. avr. 13, 2015 4:24 am

Fregiso a écrit :Soit dit en passant c'est amusant quand même comme l'algèbre n'est souvent que de la "réorganisation" d'égalité. Fondamentalement pas très intuitive, comparée à l'analyse qu'on peut plus rapprocher de notre expérience propre (vitesse, aller vers, plus grand...etc).
Très déroulement robotique (j'ai pas dit stupide!) d'axiomes l'algèbre.

C'est marrant je trouve que l'algèbre est beaucoup plus intuitive que l'analyse pour le coup ! Comme quoi on est pas tous pareil :D
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona

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Re: Exercice Algèbre

Message par Fregiso » lun. avr. 13, 2015 9:40 am

Qu'est-ce que t'entends par intuitive? Je sais que c'est pas évident à définir mais c'est parce que je suis pas sûr qu'on parle de la même chose.

Je ne confonds par exemple pas du tout facilité que j'ai dans ce domaine et intuition que j'ai dans ce domaine (je pense être meilleur en algèbre qu'en analyse).

Quand je parle d'intuition c'est un truc vraiment fondamental, à rapprocher de la base même des maths, c'est-à-dire comment on a posé des axiomes, des définitions, des principes de démonstration...etc pour se rapprocher de ce qu'on voulait dire et de ce à quoi on VOULAIT arriver. Par exemple l'introduction du calcul infinitésimal par Newton a été fortement motivée par ses travaux de physiciens. Mais maintenant le calcul infinitésimal est parfaitement "théorique", bien défini...etc
Pour l'algèbre je crois que l'introduction de la notion de groupe par exemple est plus de l'ordre de la découverte (je cherche pas à définir tout ça bien hein, découverte/non découverte, j'essaye juste d'expliquer bien comment je sens les choses et donc forcément je suis pas rigoureux). Ce qui fait que même si des notions d'algèbre peuvent être faciles pour quelqu'un, je ne sais pas à quel point on peut avoir une vraie heuristique dessus. Typiquement se représenter d'une façon intuitive un anneau ou un groupe.
Et donc on peut avoir de l' "intuition" pour résoudre un exercice d'algèbre sans que ce soit intuitif dans ma définition. Ce serait faire une confusion entre savoir utiliser un concept et le comprendre. D'ailleurs la définition même de compréhension de quelque chose est difficile je trouve. Bref. Citation de John von Neumann qui pourrait coller à ce que je dis, je sais pas si c'est ce qu'il voulait dire mais ça m'étonnerait pas « En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue »

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Re: Exercice Algèbre

Message par Madec » lun. avr. 13, 2015 10:37 pm

"Et pour moi le fait que tout élément différent de 0 est inversible entraîne l'intégrité donc j'ai peut-être aussi raté un truc sur la définition.
Merci d'avance "

je pense en effet qu'il n'y a pas besoin de préciser à la fois l'intégrité , et l'inversibilité de tout élément non nul , car :
l'inversibilité rend l'algèbre intègre .
Et une algèbre intègre de dimension finie a tous ses éléments non nuls inversibles .


" 1,2,3 et 4 OK. Si jamais quelqu'un a cherché et a fait aussi la 5 je suis preneur, je trouve pas et j'ai la flemme de chercher plus.
Encore désolé d'avoir ouvert un sujet "inutile". "

j'ai aussi cherché un peu cette question 5 sans succès , mais on peut peut être faire un détour vers la caractérisations des R algèbres de dimension finie et intègres car je crois me souvenir qu'il n'y a que le corps des complexes(commutatif) et les quaternions (non commutatif).

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Re: Exercice Algèbre

Message par Fregiso » mar. avr. 14, 2015 10:43 am

Moi je partirais pas comme ça. Je sais pas si c'est vrai mais c'est pas l'esprit prépa et si c'était vrai on te demanderait pas de le savoir.
Bon déjà si x appartient à V alors a.x aussi pour tout a de R.
Maintenant en utilisant 2 et 4 on remarque qu'il suffit de montrer pour x et y appartenant à V, que (x+y)^2 appartient à R pour montrer que (x+y) appartient à V. Comme ça que je suis parti moi.

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Re: Exercice Algèbre

Message par Madec » mar. avr. 14, 2015 1:22 pm

J'en étais au même point :

(x+ y)^2= x^2 + y^2 + xy + yx

si x et y commutent alors c'est gagné car (xy) ^2 = x^2 y^2 est élément de R+ , donc xy est élément de R (d'après 2)
et finalement (x+ y)^2 élément de R permet de conclure .

Reste le cas plus "gênant" ou x et y ne commutent pas ...

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Re: Exercice Algèbre

Message par Fregiso » mar. avr. 14, 2015 1:35 pm

J'en suis au même point que toi.
Sinon, effectivement après quelques recherches, toute algèbre commutative de dimension finie sur R(supérieure ou égale à 2), unitaire et intègre est isomorphe à C. L'exercice suivant, utilisant le même genre de techniques de résolution que le premier, le montre: (trouvé sur prépa dupuy de lôme):

Soit K une algèbre intègre sur R de dimension finie n >=2. On assimile R à R.1 où 1 est l’élément de K neutre pour le produit.
a) Montrer que tout élément non nul de K est inversible.
b) Soit a un élément de K non situé dans R. Montrer que la famille (1, a) est libre tandis que le famille (1, a, a2 ) est liée.
c) Montrer l’existence de i ∈ K tel que i2 = −1.
d) Montrer que si K est commutative alors K est isomorphisme à C.

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Re: Exercice Algèbre

Message par Fregiso » mar. avr. 14, 2015 1:57 pm

En fait on peut montrer que x et y commutent ou anticommutent Madec: (je viens de voir ça dans le Cassini)
on considère xyx^(-1) par exemple, cette quantité élevée au carrée va donner y^2.
Avec le même type de raisonnement que précédemment on a donc: (édit pour pouvoir continuer il faudrait que xyx^(-1) et y commutent, ce que je ne trouve pas évident...et ils détaillent pas plus dans le Cassini, on est donc pas plus avancés pour l'instant, ce qui suit est donc entre grosses parenthèses)
(((((((xyx^(-1)=y ou -y, c'est-à-dire xy=yx ou -yx.
Ce qui permet de conclure avec le raisonnement que nous avions commencé à faire.))))))))

Et si on prend dim A=2, A sera bien isomorphe à C.
Dans le Cassini, on montre après deux questions de plus, que si dim A>=3, alors A est isomorphe au corps des quaternions.
Je peux poster les deux dernières questions si ça t'intéresse.
Donc non tu peux pas définitivement pas utiliser le théorème que t'avais énoncé puisque t'étais en train de le démontrer :mrgreen: .

Magnéthorax

Re: Exercice Algèbre

Message par Magnéthorax » mar. avr. 14, 2015 3:21 pm

Bonjour,

sauf erreur : on peut démontrer que l'application qui à tout $ x $ de $ A $ associe le réel $ d(x) $ tel que $ x-d(x)\in V $ est linéaire. Et $ V $ étant son noyau...

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Re: Exercice Algèbre

Message par Fregiso » mar. avr. 14, 2015 3:26 pm

Montrer le caractère additif de cette application ne revient-il pas à montrer que V est stable par addition? Ce qui est notre problème.
Merci d'avoir répondu quoi qu'il en soit Magnéthorax.

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Re: Exercice Algèbre

Message par KDY » mar. avr. 14, 2015 8:17 pm

Fregiso a écrit :ce que je ne trouve pas évident...et ils détaillent pas plus dans le Cassini


Cela est normal : l'élégance se veut toujours concise. Néanmoins, il faut un certain degré de recul pour exploiter au mieux les oraux X-ENS de chez Cassini, souvent trop élégants : méfions-nous, cela n'est pas toujours évident.

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