Bonjour,
Parmi les exos proposés par la banque ccp..je ne comprends pas dans les exos 37 et 38 comment répondre à la question
Démontrer que tout ouvert pour la norme N1 est un ouvert pour la norme N∞ ... et encore moins la correction.
Oui je sais que l'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert... mais je ne vois absolument pas le rapport.. si quelqu'un pouvait m'aider.. :/
http://ccp.scei-concours.fr/cpge/oral/banque_v8.pdf (oups?)
CCP exos 37 et 38
CCP exos 37 et 38
Dernière modification par cumulus le 26 juin 2015 22:06, modifié 1 fois.
Re: CCP exos 37 et 38
Quand tu définis la notion d'ouvert dans un espace vectoriel normé $ (E, N_1) $, tu utilises l'application norme $ N_1 $ associés à cet espace vectoriel normé.
Soit par exemple $ O $ un ouvert de $ (E, N_1) $.
Mais si tu considère le même espace vectoriel $ E $ muni d'une autre norme $ N_2 $, est-ce pour autant que l'ensemble $ O $ est un ouvert dans $ (E, N_2) $ ?
C'est peut-être juste un ouvert dans $ (E, N_1) $, mais dans $ (E, N_2) $ on n'en sait rien à priori.
Le fait que les normes $ N_1 $ et $ N_2 $ sont équivalentes signifient que les ouverts pour $ (E, N_1) $ sont les mêmes que ceux de $ (E, N_2) $.
Je te rappelle ça au cas où tu n'avais jamais compris ça.
Peut-être que cela t'aidera pour la suite.
PS : Au passage, ce qui serait vraiment bien, c'est que tu mettes aussi dans ton message le lien vers les exos de la banque CCP, car je n'ai pas le courage (peut-être comme 500 autres personnes) d'aller chercher le lien tout seul.
Soit par exemple $ O $ un ouvert de $ (E, N_1) $.
Mais si tu considère le même espace vectoriel $ E $ muni d'une autre norme $ N_2 $, est-ce pour autant que l'ensemble $ O $ est un ouvert dans $ (E, N_2) $ ?
C'est peut-être juste un ouvert dans $ (E, N_1) $, mais dans $ (E, N_2) $ on n'en sait rien à priori.
Le fait que les normes $ N_1 $ et $ N_2 $ sont équivalentes signifient que les ouverts pour $ (E, N_1) $ sont les mêmes que ceux de $ (E, N_2) $.
Je te rappelle ça au cas où tu n'avais jamais compris ça.
Peut-être que cela t'aidera pour la suite.
PS : Au passage, ce qui serait vraiment bien, c'est que tu mettes aussi dans ton message le lien vers les exos de la banque CCP, car je n'ai pas le courage (peut-être comme 500 autres personnes) d'aller chercher le lien tout seul.
Re: CCP exos 37 et 38
Oui oui... ça je m'en étais bien rendu compte ... mais je ne vois toujours pas le rapport...:/
Re: CCP exos 37 et 38
Ce que dit asymétrique est peut-être trop intellectuel pour toi (no offense).
Aussi pour ces questions d'ouverts pour l'un et l'autre, n'utilise pas les voisinages et les epsilon tu vas te planter. Utilise ces 2 trucs
"l'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert"
"continuité de l'identité de E dans E" (attention cette étape n'est pas évidente, toutes les applications linéaires ne sont pas continues ! )
Une fois que t'as ça le rapport c'est qu'un ouvert pour une norme étant sa propre image réciproque par l'identité (trivial), il est donc aussi ouvert pour l'autre norme. T'as compris ?
Aussi pour ces questions d'ouverts pour l'un et l'autre, n'utilise pas les voisinages et les epsilon tu vas te planter. Utilise ces 2 trucs
"l'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert"
"continuité de l'identité de E dans E" (attention cette étape n'est pas évidente, toutes les applications linéaires ne sont pas continues ! )
Une fois que t'as ça le rapport c'est qu'un ouvert pour une norme étant sa propre image réciproque par l'identité (trivial), il est donc aussi ouvert pour l'autre norme. T'as compris ?
C'est une fiotte.
Re: CCP exos 37 et 38
Ok je viens de voir les exercices 37 et 38, ce que j'ai dis ne va te servir à rien en fait 
Je vais un peu plus développer ce que dit branque peut-être que tu comprendras mieux.
Quand on dispose d'un espace vectoriel $ E $ et qu'on a deux normes $ N_1 $ et $ N_2 $ de $ E $ alors on peut parler de la continuité entre des applications quelconques qui vont de $ (E, N_1) $ vers $ (E, N_2) $.
Mais lorsqu'on dispose d'une application linéaire $ f $ de $ (E, N_1) $ vers $ (E, N_2) $, on montre (?) dans le cours que la continuité d'une telle application est équivalente à l'existence d'un $ M > 0 $ vérifiant $ \forall x \in E, N_1(f(x)) \le M.N_2(x) $. Ce qui donne un critère de continuité pour les applications linéaires.
Dans la question 1b) de l'exo 37, c'est ce qu'on te demande, c'est-à-dire de montrer que l'application identité $ Id_E $ de $ (E, N_1) $ vers $ (E, N_2) $ est continue avec $ N_1 $ celui dans l'exercice et $ N_2 = N_\infty $ de l'exercice , et $ M = k $.
Une fois qu'on a la continuité de $ Id_E $, il suffit d'utiliser les "$ 2 $ trucs" de branque :
Si jamais tu n'es pas convaincu par le premier "truc" de branque, tu pourras éventuellement essayer de le prouver ou alors admet le tout simplement.
Je vais un peu plus développer ce que dit branque peut-être que tu comprendras mieux.
Quand on dispose d'un espace vectoriel $ E $ et qu'on a deux normes $ N_1 $ et $ N_2 $ de $ E $ alors on peut parler de la continuité entre des applications quelconques qui vont de $ (E, N_1) $ vers $ (E, N_2) $.
Mais lorsqu'on dispose d'une application linéaire $ f $ de $ (E, N_1) $ vers $ (E, N_2) $, on montre (?) dans le cours que la continuité d'une telle application est équivalente à l'existence d'un $ M > 0 $ vérifiant $ \forall x \in E, N_1(f(x)) \le M.N_2(x) $. Ce qui donne un critère de continuité pour les applications linéaires.
Dans la question 1b) de l'exo 37, c'est ce qu'on te demande, c'est-à-dire de montrer que l'application identité $ Id_E $ de $ (E, N_1) $ vers $ (E, N_2) $ est continue avec $ N_1 $ celui dans l'exercice et $ N_2 = N_\infty $ de l'exercice , et $ M = k $.
Une fois qu'on a la continuité de $ Id_E $, il suffit d'utiliser les "$ 2 $ trucs" de branque :
Saches qu'une définition "plus générale" de la continuité entre deux espaces normées est celle qui dit le premier "truc" de branque, c'est à dire qu'on peut définir une application comme étant continue si et seulement si l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert.branque a écrit : "l'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert"
"continuité de l'identité de E dans E" (attention cette étape n'est pas évidente, toutes les applications linéaires ne sont pas continues ! )
Si jamais tu n'es pas convaincu par le premier "truc" de branque, tu pourras éventuellement essayer de le prouver ou alors admet le tout simplement.