Equations différentielles/Matrices

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fakbill
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Re: Equations différentielles/Matrices

Message par fakbill » mer. juil. 29, 2015 3:24 pm

Une matrice te dis comment l'application linéaire qui lui est asscociée envoye une base de l'espace sur une autre base (qui peut etre la même ou pas).
Une matrice, c'est donc une application linéaire et le choix de deux bases...c'est pour cela qu'on ne parlera JAMAIS de LA matrice d'une appli linéaire mais d'UNE matrice d'une appli linéaire (
Par exemple, en 2D, considère la rotation qui envoie Ox sur Oy et Oy sur -Ox. Choisis une base de R^2 et écris la matrice de cette rotation dans cette base.

Autre chose ultra fondamentale : f o g. La composition de deux applications reviens à faire un PRODUIT de matrices (à condition que les bases correspondent). C'est pour cela que le produit matriciel est défini comme ca (et non par exemple comme un bête produit terme à terme). Comme on a défini un produit, on peut regarder si l'inverse d'une matrice existe. Si c'est le cas, c'est la matrice (dans les bonnes bases) de l'inverse de l'application f. Pour la somme f+g, c'est la somme de deux matrices qui en sera le reflet.

Bref, aux appli linéaires, avec leur + et leur o , on fait correspondre les matrices (avec les bases...) avec + et *. On appelle ca un morphisme.
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Mikihisa
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Re: Equations différentielles/Matrices

Message par Mikihisa » mer. juil. 29, 2015 3:50 pm

J'y connais pas grand chose, mais en Grèce ils choisissent des le Lycée si ils veulent s'oriente plus vers la science appliquer ou plus vers la science théorique
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Re: Equations différentielles/Matrices

Message par abouMPSI » mer. juil. 29, 2015 3:57 pm

Mikihisa a écrit :en Grèce ils choisissent des le Lycée si ils veulent s'oriente plus vers la science appliquée ou plus vers la science théorique

J'ai pas trouvé grand'chose dans Wikipedia, ça serait des gymnasiums exemplaires...

Experimental Gymnasium
https://en.wikipedia.org/wiki/Education ... _education

Vocational education and training
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Re: Equations différentielles/Matrices

Message par abouMPSI » mer. juil. 29, 2015 4:00 pm

fakbill a écrit :matrice de cette rotation

Je ne suis pas mathématicien, mais les quaternions me diraient / plairaient plus... :)
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Re: Equations différentielles/Matrices

Message par MihoAzuki » mer. juil. 29, 2015 4:14 pm

fakbill a écrit :Une matrice te dis comment l'application linéaire qui lui est asscociée envoye une base de l'espace sur une autre base (qui peut etre la même ou pas).
Une matrice, c'est donc une application linéaire et le choix de deux bases...c'est pour cela qu'on ne parlera JAMAIS de LA matrice d'une appli linéaire mais d'UNE matrice d'une appli linéaire (
Par exemple, en 2D, considère la rotation qui envoie Ox sur Oy et Oy sur -Ox. Choisis une base de R^2 et écris la matrice de cette rotation dans cette base.


Si on définit que A est un point de coordonnés (x;y).

Si on multiplie la matrice A ( x y ) par la matrice C
(0 -1)
(1 0 )
On obtient la matrice:
(y;-x)

Je suis pas certain d'avoir bien tout compris, mais c'est ça? :oops:
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Re: Equations différentielles/Matrices

Message par abouMPSI » mer. juil. 29, 2015 4:20 pm

il me semble qu'il y a du cos Theta et du sin Theta ...
https://fr.wikipedia.org/wiki/Rotation_plane

PS et :
"Matrice de rotation"
https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_de_rotation
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Re: Equations différentielles/Matrices

Message par Kallio » mer. juil. 29, 2015 5:13 pm

Mikihisa a écrit :Je suis scandaliser par le massacre du programme de Ts qu'ils ont fais, et tout ça parceque 80% des gens qui vont en S, y vont juste parceque on leur dit d'y aller et n'ont aucune compétence particulière ni même envie particulière de faire de la science .......


Malheureusement aujourd'hui en sciences (en TS), c'est plus de la culture générale qu'autre chose qu'on apprend ...
Le programme de Terminale C était plus intéressant et plus complet
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Re: Equations différentielles/Matrices

Message par abouMPSI » mer. juil. 29, 2015 5:19 pm

Antoine- a écrit :
Mikihisa a écrit :Je suis scandaliser par le massacre du programme de Ts

Malheureusement aujourd'hui en sciences (en TS), c'est plus de la culture générale qu'autre chose qu'on apprend ...

D'où les brèves UPS sur http://prepas.org/ups.php
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Re: Equations différentielles/Matrices

Message par MihoAzuki » mer. juil. 29, 2015 9:48 pm

abouMPSI a écrit :il me semble qu'il y a du cos Theta et du sin Theta ...
https://fr.wikipedia.org/wiki/Rotation_plane

PS et :
"Matrice de rotation"
https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_de_rotation


Justement, dans ce cas, Theta = pi/2 et ça correspond, merci. ;3
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Re: Equations différentielles/Matrices

Message par fakbill » ven. juil. 31, 2015 10:24 pm

abouMPSI : les quaternions c'est pour les rotation en 3D. THE différence entre les rotations en 2D et celles en 3D étant qu'en 3D ça ne commute pas.

MihoAzuki : oui c'est ça. Attention tout le même, [x,y] c'est un vecteur colonne dans ton cas.
Bon maintenant trouve moi la matrice (dans la même base que celle que tu as trouvé) de la rotation inverse (celle qui envoie Oy sur Ow et Ox sur -Oy). Que vaut le produit de ces deux matrices (tu peux répondre à cette question sans calcul (pourquoi?) mais fait le calcul du produit pour vérifier)?
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Re: Equations différentielles/Matrices

Message par MihoAzuki » dim. août 02, 2015 4:19 am

MihoAzuki a écrit :
fakbill a écrit :Une matrice te dis comment l'application linéaire qui lui est asscociée envoye une base de l'espace sur une autre base (qui peut etre la même ou pas).
Une matrice, c'est donc une application linéaire et le choix de deux bases...c'est pour cela qu'on ne parlera JAMAIS de LA matrice d'une appli linéaire mais d'UNE matrice d'une appli linéaire (
Par exemple, en 2D, considère la rotation qui envoie Ox sur Oy et Oy sur -Ox. Choisis une base de R^2 et écris la matrice de cette rotation dans cette base.


Si on définit que A est un point de coordonnés (x;y).

Si on multiplie la matrice A ( x y ) par la matrice C
(0 -1)
(1 0 )
On obtient la matrice:
(y;-x)

Je suis pas certain d'avoir bien tout compris, mais c'est ça? :oops:


En fait, j'ai fais une erreur ici.
Posons:
$ C = \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} $
$ A = \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} $
Si on multiplie C par la matrice colonne A, on aura
$ CA = \begin{pmatrix}
-y \\
x
\end{pmatrix} $
Et c'est ce qu'on cherche en fait. (je pense..?)

Et posons B et D, B étant une matrice ligne
$ B = \begin{pmatrix}
x & y
\end{pmatrix} $

$ D = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} $
En multipliant B par D, on aura
$ BD = \begin{pmatrix}
-y & x
\end{pmatrix} $
C'est ce qu'on cherche aussi. (Mais avec une matrice ligne au lieu de colonne)

C'est ce que tu demandais au début, Fakbill! (Ox sur Oy et Oy sur -Ox)
Maintenant que c'est corrigé,

fakbill a écrit :MihoAzuki : oui c'est ça. Attention tout le même, [x,y] c'est un vecteur colonne dans ton cas.
Bon maintenant trouve moi la matrice (dans la même base que celle que tu as trouvé) de la rotation inverse (celle qui envoie Oy sur Ow et Ox sur -Oy). Que vaut le produit de ces deux matrices (tu peux répondre à cette question sans calcul (pourquoi?) mais fait le calcul du produit pour vérifier)?


Pour la matrice qui fait la rotation inverse (Ox sur -Oy et Oy sur Ox)
Si on prend la matrice colonne
$ A= \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} $

Et qu'on multiplie la matrice D par A, avec

$ D = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} $

On aura

$ DA = \begin{pmatrix}
y \\
-x
\end{pmatrix} $

C'est ce qu'on recherche.

Si on le fait avec une matrice ligne,
$ B = \begin{pmatrix}
x & y
\end{pmatrix} $

On devra multiplier B par C,
$ C = \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} $
Et donc,
$ BC = \begin{pmatrix}
y & -x
\end{pmatrix} $
C'est ce qu'on recherche encore.

Le produit de ces deux matrices devrait valoir la matrice unité.
Si on envoie Ox sur Oy puis Oy sur Ox, on a pas "bougé"
De même, si on envoie, Oy sur -Ox, puis Ox sur -Oy, ça change pas.
On vérifie, CD = DC = I
Modifié en dernier par MihoAzuki le dim. août 02, 2015 4:51 pm, modifié 3 fois.
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Re: Equations différentielles/Matrices

Message par MihoAzuki » dim. août 02, 2015 4:52 pm

corderaide a écrit :@MihoAzuki : essaye de refaire ça en LaTeX, c'est illisible. ;)


C'est édité désolé. :arrow: :arrow:
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Re: Equations différentielles/Matrices

Message par fakbill » dim. août 09, 2015 3:02 am

Le produit de ces deux matrices devrait valoir la matrice unité.
Si on envoie Ox sur Oy puis Oy sur Ox, on a pas "bougé"

Oui voila c'est exactement ça qu'il faut comprendre.
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