Equation trigonométrique : cos^3(x)+sin^3(x)=1

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Zoli-Gaffiot

Equation trigonométrique : cos^3(x)+sin^3(x)=1

Message par Zoli-Gaffiot » 30 juil. 2015 12:27

Bonjour,

En fait je n'arrive pas à résoudre : cos^3(x)+sin^3(x)=1 .
J'ai pensé à dire que cos^3(x)+sin^3(x)=cos^2(x)+sin^2(x)/ Puis j'ai tenté de simplifié mais je n'y arrive pas.
Sinon, j'ai imaginé que je pouvais dériver le tout, faire le tableau de variation et trouvé que les maxima sont solutions de l'équation. Cependant cette technique est un peu lourde et je me demander s'il n'y avait pas plus simple...

Merci pour votre aide :)

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Re: Equation trigonométrique : cos^3(x)+sin^3(x)=1

Message par Kallio » 30 juil. 2015 12:30

T'as essayé de passer par la forme exponentielle pour voir si ça donne quelque chose ? (Je sais pas si ça marche c'est juste une idée)
MVA

muscovado

Re: Equation trigonométrique : cos^3(x)+sin^3(x)=1

Message par muscovado » 30 juil. 2015 12:33

Pas la peine, il faut juste se servir des inégalités de base sur cos et sin.

RaphI!

Re: Equation trigonométrique : cos^3(x)+sin^3(x)=1

Message par RaphI! » 30 juil. 2015 12:54

Je me sens nul car je vois pas trop comment faire :(

Si j'encadre j'ai -1<=cosx<=1 et -1<=sinx<=1, puis -1<=cos^3(x)<=1 et -1<=sin^3(x)<=1. Mais je comprends pas ce que je peux faire d'autres, les additionner ?

muscovado

Re: Equation trigonométrique : cos^3(x)+sin^3(x)=1

Message par muscovado » 30 juil. 2015 12:57

Compare cos^2(x) et cos^3(x) par exemple

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Re: Equation trigonométrique : cos^3(x)+sin^3(x)=1

Message par L'hommeMasque » 30 juil. 2015 13:02

Transforme cos^3(x) et sin^3(x) en tangentes...

ticotanar

Re: Equation trigonométrique : cos^3(x)+sin^3(x)=1

Message par ticotanar » 30 juil. 2015 13:27

Je viens de trouver une éventuelle solution si ça t’intéresses c'est surement pas le plus élégant.
SPOILER:
Rédaction très brève
Soit x solution :
$ (\sin x + \cos x)^{3}=1+3\sin^{2}x\cos x+3\sin x\cos^{2} x $
$ =1+3(\sin^{2}x+\cos^{2}x)\cos x+3(\sin^{2}x+\cos^{2}x)\sin x $ $ -3(\cos^{3} x+\sin^{3} x) $
$ =1+3(\sin x+\cos x)-3=3(\sin x+\cos x)-2 $
Posons:
$ P=X^3-3X+2=(X-1)^2(X+2) $
$ \cos x + \sin x=\sqrt{2}\sin(x+\pi/4)=1 ou -2 $le deuxième cas est impossible
donc x=0 ou pi/2 [2pi]
Edit : j'ai corrigé l'erreur de calcul :)
Dernière modification par ticotanar le 30 juil. 2015 13:56, modifié 2 fois.

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Re: Equation trigonométrique : cos^3(x)+sin^3(x)=1

Message par Jay Olsen » 30 juil. 2015 13:34

Sinon tu sortais un graphe et tu observais la solution en direct.....
Toujours en train de calculer des matrices de rotation

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Re: Equation trigonométrique : cos^3(x)+sin^3(x)=1

Message par bullquies » 30 juil. 2015 13:36

ticotanar a écrit :Je viens de trouver une éventuelle solution si ça t’intéresses c'est surement pas le plus élégant.
SPOILER:
Rédaction très brève
Soit x solution :
$ (\sin x + \cos x)^{3}=1+3\sin^{2}x\cos x+3\sin x\cos^{2} x $
$ =1+3(\sin^{2}x+\cos^{2}x)\cos x+3(\sin^{2}x+\cos^{2}x)\sin x $ $ -3(\cos^{3} x+\sin^{3} x) $
$ =1+3(\sin x+\cos x)-3=3(\sin x+\cos x)-2 $
Posons:
$ P=X^3-3X+2=(X-1)^2(X+2) $
$ \cos x + \sin x=\sqrt{2}\sin(x+\pi/4)=1 ou -2 $
donc x=0 ou pi [2pi]
ya un problème qqpart parce que x=pi/2 est forcément solution

SPOILER:
soit $ f(x) = max(sin(x),cos(x)) $.
$ cos^3(x) \leq cos^2(x).cos(x) \leq cos^2(x)f(x) $. De même, $ sin^3(x) \leq sin^2(x)f(x) $.

donc $ cos^3(x)+sin^3(x) \leq (cos^2(x)+sin^2(x))f(x) = f(x) \leq 1 $.

Le seul moyen pour que le membre de gauche soit égal au membre de droite c'est que toutes les inégalités soient des égalités. En particulier il faut que $ f(x) = 1 $, c'est-à-dire $ sin(x) = 1 $ ou $ cos(x)=1 $.

On vérifie que ca marche bien et ca donne les solutions
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona

Zoli-Gaffiot

Re: Equation trigonométrique : cos^3(x)+sin^3(x)=1

Message par Zoli-Gaffiot » 30 juil. 2015 13:44

Jay Olsen a écrit :Sinon tu sortais un graphe et tu observais la solution en direct.....
Oui sauf que je ne peux pas balancer le résultat comme ça. C'est pour ça que je comptais passer par un tableau de signe car on voit bien que les maxima sont 1 sur le graphique.
Sinon ticotanar la résolution que tu as faite est intéressante mais je dois résoudre cos^3(x)+sin^3(x)=1 et non (cosx+sinx)= 1 :)

Muscovado, je vois pas trop comment faire sauf : -1<=cos^3(x)-cos^2(x)<=0

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