Question de cours?

[Finn]

Dans un de mes oraux on m'a posé la question suivante (qui ressemble fortement malheureusement à une question de cours, mais à laquelle je n'ai pas pu répondre...), quels sont les espaces complets et compacts de R, puis de C?

Quelqu'un a-t-il une idée?

Merci.

[$h4dY]

Pour les compacts je crois qu'on peut dire qu'en dimension finie ce sont les fermés bornés, que dire de plus après??
Pour les complets, il faut que toute suite de cauchy converge (ce qui ne pose pas de pb en dim finie) DANS l'espace, donc les fermés...
La démonstration est laissée au lecteur ^^.
SI je dis une bétise, on me reprendra surement...

[Mû]

Dans un de mes oraux on m'a posé la question suivante (qui ressemble fortement malheureusement à une question de cours, mais à laquelle je n'ai pas pu répondre...), quels sont les espaces complets et compacts de R, puis de C?

Dans cette situation: complet=fermé, compact=fermé borné (ceci est spécifique aux espaces vectoriels normés de dimension finie).

Et puis on ne dit pas "compact de R" ou "complet de R" mais "partie de R compacte" et "partie de R complète", ces notions sont en effet intrinsèques (elles ne dépendent pas de l'espace ambiant contrairement au caractère ouvert ou fermé).

[Finn]

Alors en fait, c'est ce que j'ai répondu (c'est presque la définition du cours) mais l'examinateur voulait que je lui explique en termes d'intervalles, segments, points de R et de C, pas en termes de concepts topologiques comme les fermés.

[Mû]

Alors en fait, c'est ce que j'ai répondu (c'est presque la définition du cours) mais l'examinateur voulait que je lui explique en termes d'intervalles, segments, points de R et de C, pas en termes de concepts topologiques comme les fermés.

Ca, c'est abusé! Ce n'est pas si simple à décrire en termes d'intervalles dans R, et certainement moche dans C. L'existence d'ensembles "à la noix", du style "à la Cantor" ou "à la Berkovitch", qui sont pourtant de pauvres compacts, montre que cette notion n'est pas forcément intuitive.
Au mieux, on peut dire ça: les fermés de R (donc ses parties complètes) sont les complémentaires des réunions dénombrables d'intervalles ouverts, et les compacts ceux qui, de plus, sont bornés.

Pour finir, un truc marrant: il existe une distance sur R\Q induisant la topologie usuelle mais pour laquelle cet ensemble est complet. Comme quoi, dans la question initiale, on aurait mieux fait de préciser la structure.

[Matt_costa]

Alors en fait, c'est ce que j'ai répondu (c'est presque la définition du cours) mais l'examinateur voulait que je lui explique en termes d'intervalles, segments, points de R et de C, pas en termes de concepts topologiques comme les fermés.

Dans R :
Puisque les compacts sont les fermés bornés, ce sont les réunions d'intervalles fermés, qui soient en plus bornées (on peut pas se limiter aux réunions finies je pense)
Les complets sont les fermés, donc les réunions finies d'intervalles fermés de R.

Dans C :
Les complets=fermés sont :
_ les ensembles de points délimités par une "frontière", avec la frontière incluse (c'est plus facile graphiquement )
_ toute réunion finie d'ensembles sus-cités

Les compacts = fermés bornés, j'avour que j'aurais le meme genre de réponse que dans R, je ne sais pas trop comment caractériser formellement le fait que ca soit borné.

[Mû]

Dans R :
Puisque les compacts sont les fermés bornés, ce sont les réunions d'intervalles fermés, qui soient en plus bornées (on peut pas se limiter aux réunions finies je pense)

Non, c'est faux: une réunion infinie d'intervalles fermés n'a aucune raison d'être fermée, mais il n'est pas nécessaire qu'elle soit finie pour que ce soit le cas.

Les complets sont les fermés, donc les réunions finies d'intervalles fermés de R.

Non, idem.

Dans C :
Les complets=fermés sont :
_ les ensembles de points délimités par une "frontière", avec la frontière incluse (c'est plus facile graphiquement )
_ toute réunion finie d'ensembles sus-cités

Non, il y en a énormément plus! Toutes les facéties cantoriennes, notamment, qui sont totalement discontinues mais compactes donc complètes.