dans un exercice d'application,
- on considere l'ensemble $ E=\{0,1,2,3\} $
muni de la loi $ \bullet $ definie par la table suivante :
$ \begin{array}{c|cccc}\bullet&0&1&2&3\\\hline0&0&1&2&3\\1&1&2&3&0\\2&2&3&0&1\\3&3&0&1&2\end{array} $
(on a deja demontre que $ \bullet $ munissait $ E $ d'une structure de groupe)
on me demande de montrer que $ E $ est isomorphe au groupe $ \left(\frac{\mathbb{Z}}{4\mathbb{Z}},+\right) $
grace a la table, on verifie bien (16 verifications) que $ f(x\bullet y)=\overline{x}+\overline{y}=\overline{x+y} $
ainsi, $ f $ est un morphisme de groupes
comme $ f $ est un morphisme, donc je peux considerer son noyau :
$ {\rm Ker} f=\{x:x\in E,\overline{x}=\overline{0}\}=\{0\} $
ainsi, $ f $ est injective
je prends un $ \overline{x}\in\mathbb{Z}_4 $
ensuite, grace a la division euclidienne, on a l'existence d'entiers $ r $ et $ b $
tels que $ x=4b+r $ avec $ r\in E $
ainsi, $ \overline{x}=\overline{r} $
donc $ f(r)=\overline{x} $
par suite, $ f $ est surjective
$ f $ est un morphisme bijectif donc un isomorphisme
1
ai-je bon ?2
y aurait-il plus simple ?3
comment faire avec l'application $ g:\mathbb{Z}_4\to E,\overline{x}\mapsto g(\overline{x}) $avec $ g(\overline{x}) $ le reste de la division euclidienne de $ x $ par $ 4 $ : c'est avec elle que j'avais commence,
mais j'ai ensuite considere $ f $ qui est plus commode
(je pense deja qu'il faut demontrer que l'application est bien definie :
si je prends $ \overline{x}=\overline{x'} $
alors j'ai bien $ g(\overline{x})=g(\overline{x'}) $
puisque $ x $ et $ x' $ ont le meme reste dans la division euclidienne par $ 4 $)
merci pour votre aide
. ça a pris le sens de "facile", ou "qui se voit rapidement", ou encore "clair". La plupart des gens qui le disent (dont moi), le disent par habitude quand ils ont compris quelquechose ^^.
ahh oui merci pour tout ( et moi qui cherchais dans mes livres je croyais que c'était un truc mathematique 
)