Pas si on établit immédiatement le lien avec l'exponentielle complexe,Mû a écrit : Qu'est-ce qui assure que les sinus et cosinus définis à l'aide de l'exponentielle complexe sont les "vrais" sinus et cosinus de la géométrie?
Il n'y a pas de miracle: les fonctions trigonométriques sont avant tout de nature géométrique et on est donc obligé de faire de la géométrie pour démontrer leurs propriétés de base.
ce qui pose moins de problèmes que tu sembles le penser.
Voilà une définition géométrique de cos et sin qui me satisfait : on parcourt le cercle $ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : \; x^2+y^2=1\} $ en partant de $ (1,0) $ dans le sens trigonométrique et à un vitesse constante égale à 1. On définit alors $ \cos (t) $ et $ \sin (t) $ comme les coordonnées du point atteint à l'instant $ t $ .
Ce qui rend la définition rigoureuse et qui permet du même coup
d'établir le lien avec l'exponentielle complexe est le fait que
$ t \mapsto e^{it} $ est l'unique solution de l'équation différentielle $ y'=iy $ prenant la valeur 1 en 0.
... ça me donne vraiment envie d'approfondir la trigonométrie pour comprendre toutes ces implications.
